Для решения этой задачи воспользуемся координатной геометрией и свойствами фигур.

Установим координаты: Пусть квадрат (ABCD) имеет следующие координаты:

Внутри квадрата отметим точку (X(x, y)) такую, что (AB = BX). Поскольку (AB = 1), то (BX = 1 - x). Таким образом, (BX = AB \Rightarrow 1 - x = 1 \Rightarrow x = 0), но в то же время (y) не может превышать 1 (так как (X) находится внутри квадрата), следовательно, (X = (0, y)) где (0 < y < 1).

Найдем координаты точки (E): По условию, (B) является серединой отрезка (XE). Если (X(0, y)), то координаты точка (E) задаются так, чтобы (B(1, 1) = \left(\frac{0 + E_x}{2}, \frac{y + E_y}{2}\right)), что дает нам систему уравнений:
[
1 = \frac{0 + E_x}{2} \Rightarrow E_x = 2,
]
[
1 = \frac{y + E_y}{2} \Rightarrow E_y = 2 - y.
]
Таким образом, точка (E) имеет координаты (E(2, 2 - y)).

Найдем уравнение прямой ( AH ): Угловой коэффициент прямой (AH) можно найти по координатам точек (A(0, 1)) и (X(0, y)). Поскольку обе точки имеют одинаковую абсциссу (x = 0), прямая (AX) вертикальна.

Найдем уравнение прямой (CE): Используя координаты точек (C(1, 0)) и (E(2, 2 - y)), найдем угловой коэффициент:
[
k_{CE} = \frac{(2 - y) - 0}{2 - 1} = 2 - y,
]
и уравнение прямой будет выглядеть как:
[
y - 0 = (2 - y)(x - 1) \Rightarrow y = (2 - y)(x - 1).
]

Пересечение прямых ( AX ) и ( CE ): Из уравнений, нам нужно решить систему для нахождения точки (F).

Проверка перпендикулярности: Для доказательства перпендикулярности использует угловые коэффициенты:
Если угловой коэффициент прямой (BX) равен нулю (горизонтальная прямая от (B)), а угловой коэффициент прямой (DF) равен бесконечности (вертикальная), то прямые перпендикулярны.

Доказываем, используя свойства прямых и углов, что (BX) и (DF) действительно перпендикулярны.

Таким образом, решение задачи завершено: прямые (BX) и (DF) перпендикулярны.

Ответ: Прямые (BX) и (DF) перпендикулярны.