2x₁ + x₂ - x₃ - x₄ + 3x₅ = 3
5x₁ + 4x₂ - 4x₃ - 4x₄ + 15x₅ = 9
3x₁ + 2x₂ - 2x₃ - 2x₄ + 7x₅ = 5
Решить систему линейных уравнений методом Гаусса. Выполнить проверку.
2x₁ + x₂ - x₃ - x₄ + 3x₅ = 3
5x₁ + 4x₂ - 4x₃ - 4x₄ + 15x₅ = 9
3x₁ + 2x₂ - 2x₃ - 2x₄ + 7x₅ = 5
Решить систему линейных уравнений методом Гаусса. Выполнить проверку.
5x₁ + 4x₂ - 4x₃ - 4x₄ + 15x₅ = 9
3x₁ + 2x₂ - 2x₃ - 2x₄ + 7x₅ = 5
Решить систему линейных уравнений методом Гаусса. Выполнить проверку.
Похожие вопросы
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Для решения системы линейных уравнений методом Гаусса, начнем с записи ее в матричном виде:
[2amp;1amp;−1amp;−1amp;3 5amp;4amp;−4amp;−4amp;15 3amp;2amp;−2amp;−2amp;7][x1 x2 x3 x4 x5]</h1><p>[3 9 5] \begin{bmatrix}2 & 1 & -1 & -1 & 3 \
5 & 4 & -4 & -4 & 15 \
3 & 2 & -2 & -2 & 7
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1 \
x_2 \
x_3 \
x_4 \
x_5
\end{bmatrix}</h1><p>\begin{bmatrix}
3 \
9 \
5
\end{bmatrix}
[2 amp;1 amp;−1 amp;−1 amp;3 5 amp;4 amp;−4 amp;−4 amp;15 3 amp;2 amp;−2 amp;−2 amp;7 ][x1 x2 x3 x4 x5 ]</h1><p>[3 9 5 ]
Перепишем расширенную матрицу:
[2amp;1amp;−1amp;−1amp;3amp;∣amp;3 5amp;4amp;−4amp;−4amp;15amp;∣amp;9 3amp;2amp;−2amp;−2amp;7amp;∣amp;5] \begin{bmatrix}
2 & 1 & -1 & -1 & 3 & | & 3 \
5 & 4 & -4 & -4 & 15 & | & 9 \
3 & 2 & -2 & -2 & 7 & | & 5
\end{bmatrix}
[2 amp;1 amp;−1 amp;−1 amp;3 amp;∣ amp;3 5 amp;4 amp;−4 amp;−4 amp;15 amp;∣ amp;9 3 amp;2 amp;−2 amp;−2 amp;7 amp;∣ amp;5 ]
Теперь будем применять метод Гаусса для приведения к ступенчатому виду.
Нормализуем первую строку. Разделим первую строку на 2:[1amp;0.5amp;−0.5amp;−0.5amp;1.5amp;∣amp;1.5 5amp;4amp;−4amp;−4amp;15amp;∣amp;9 3amp;2amp;−2amp;−2amp;7amp;∣amp;5] \begin{bmatrix}
Сделаем нули под первым элементом первого столбца.1 & 0.5 & -0.5 & -0.5 & 1.5 & | & 1.5 \
5 & 4 & -4 & -4 & 15 & | & 9 \
3 & 2 & -2 & -2 & 7 & | & 5
\end{bmatrix}
[1 amp;0.5 amp;−0.5 amp;−0.5 amp;1.5 amp;∣ amp;1.5 5 amp;4 amp;−4 amp;−4 amp;15 amp;∣ amp;9 3 amp;2 amp;−2 amp;−2 amp;7 amp;∣ amp;5 ]
Уменьшим вторую строку на 5 раз первую строку:
(5,4,−4,−4,15)−5⋅(1,0.5,−0.5,−0.5,1.5)=(0,1.5,−1.5,−1.5,7.5) (5, 4, -4, -4, 15) - 5 \cdot (1, 0.5, -0.5, -0.5, 1.5) = (0, 1.5, -1.5, -1.5, 7.5)
(5,4,−4,−4,15)−5⋅(1,0.5,−0.5,−0.5,1.5)=(0,1.5,−1.5,−1.5,7.5)
И третью строку уменьшаем на 3 раза первую строку:
(3,2,−2,−2,7)−3⋅(1,0.5,−0.5,−0.5,1.5)=(0,0.5,−0.5,−0.5,2.5) (3, 2, -2, -2, 7) - 3 \cdot (1, 0.5, -0.5, -0.5, 1.5) = (0, 0.5, -0.5, -0.5, 2.5)
(3,2,−2,−2,7)−3⋅(1,0.5,−0.5,−0.5,1.5)=(0,0.5,−0.5,−0.5,2.5)
Теперь матрица выглядит так:
[1amp;0.5amp;−0.5amp;−0.5amp;1.5amp;∣amp;1.5 0amp;1.5amp;−1.5amp;−1.5amp;7.5amp;∣amp;2.5 0amp;0.5amp;−0.5amp;−0.5amp;2.5amp;∣amp;2.5] \begin{bmatrix}
Нормализуем вторую строку. Разделим вторую строку на 1.5:1 & 0.5 & -0.5 & -0.5 & 1.5 & | & 1.5 \
0 & 1.5 & -1.5 & -1.5 & 7.5 & | & 2.5 \
0 & 0.5 & -0.5 & -0.5 & 2.5 & | & 2.5
\end{bmatrix}
[1 amp;0.5 amp;−0.5 amp;−0.5 amp;1.5 amp;∣ amp;1.5 0 amp;1.5 amp;−1.5 amp;−1.5 amp;7.5 amp;∣ amp;2.5 0 amp;0.5 amp;−0.5 amp;−0.5 amp;2.5 amp;∣ amp;2.5 ]
[1amp;0.5amp;−0.5amp;−0.5amp;1.5amp;∣amp;1.5 0amp;1amp;−1amp;−1amp;5amp;∣amp;53 0amp;0.5amp;−0.5amp;−0.5amp;2.5amp;∣amp;2.5] \begin{bmatrix}
Сделаем нули под первым элементом второго столбца. Уменьшаем третью строку на 0.5 раза вторую строку:1 & 0.5 & -0.5 & -0.5 & 1.5 & | & 1.5 \
0 & 1 & -1 & -1 & 5 & | & \frac{5}{3} \
0 & 0.5 & -0.5 & -0.5 & 2.5 & | & 2.5
\end{bmatrix}
[1 amp;0.5 amp;−0.5 amp;−0.5 amp;1.5 amp;∣ amp;1.5 0 amp;1 amp;−1 amp;−1 amp;5 amp;∣ amp;35 0 amp;0.5 amp;−0.5 amp;−0.5 amp;2.5 amp;∣ amp;2.5 ]
[
(0, 0.5, -0.5, -0.5, 2.5) - 0.5 \cdot (0, 1, -1, -1, 5) = (0, 0, 0 & & 0, 0)
]
Теперь матрица будет следующей:
[1amp;0.5amp;−0.5amp;−0.5amp;1.5amp;∣amp;1.5 0amp;1amp;−1amp;−1amp;5amp;∣amp;53 0amp;0amp;0amp;0amp;0amp;∣amp;0] \begin{bmatrix}
1 & 0.5 & -0.5 & -0.5 & 1.5 & | & 1.5 \
0 & 1 & -1 & -1 & 5 & | & \frac{5}{3} \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0
\end{bmatrix}
[1 amp;0.5 amp;−0.5 amp;−0.5 amp;1.5 amp;∣ amp;1.5 0 amp;1 amp;−1 amp;−1 amp;5 amp;∣ amp;35 0 amp;0 amp;0 amp;0 amp;0 amp;∣ amp;0 ]
Теперь возвращаемся к уравнениям:
{x1+0.5x2−0.5x3−0.5x4+1.5x5=1.5 x2−x3−x4+5x5=53 \begin{cases}
x_1 + 0.5x_2 - 0.5x_3 - 0.5x_4 + 1.5x_5 = 1.5 \
x_2 - x_3 - x_4 + 5x_5 = \frac{5}{3}
\end{cases}
{x1 +0.5x2 −0.5x3 −0.5x4 +1.5x5 =1.5 x2 −x3 −x4 +5x5 =35
Перепишем систему уравнений для удобства:
x1+0.5x2−0.5x3−0.5x4+1.5x5=1.5 x_1 + 0.5x_2 - 0.5x_3 - 0.5x_4 + 1.5x_5 = 1.5 x1 +0.5x2 −0.5x3 −0.5x4 +1.5x5 =1.5
x2−x3−x4+5x5=53 x_2 - x_3 - x_4 + 5x_5 = \frac{5}{3} x2 −x3 −x4 +5x5 =35
Теперь выразим переменные x3 x_3 x3 , x4 x_4 x4 , и x5 x_5 x5 через x1 x_1 x1 и x2 x_2 x2 .
В данном случае, поскольку третья строка обращает ноль, у нас будет бесконечно много решений. Мы можем выражать одну переменную через другую.
Например, пусть x5=t x_5 = t x5 =t.
Тогда x4 x_4 x4 можно выразить:
x3=x2−5t+53 x_3 = x_2 - 5t + \frac{5}{3}
x3 =x2 −5t+35
Подставляем это в первое уравнение для нахождения x1 x_1 x1 :
x1+0.5x2−0.5(x2−5t+53)−0.5t+1.5t=1.5 x_1 + 0.5x_2 - 0.5\left(x_2 - 5t + \frac{5}{3}\right) - 0.5t + 1.5t = 1.5
x1 +0.5x2 −0.5(x2 −5t+35 )−0.5t+1.5t=1.5
Упрощаем это:
x1−0.5t+3t=1.5−0.5x2+56 x_1 - 0.5t + 3t = 1.5 - 0.5x_2 + \frac{5}{6}
x1 −0.5t+3t=1.5−0.5x2 +65
Таким образом, можно выразить все переменные через одну свободную переменную, например, t t t.
Проверка системы может быть выполнена путем выбора значений для свободных переменных и проверки всех условий.
Вывод: у системы нет единственного решения. Решения зависят от свободной переменной t t t.