Чтобы найти значение выражения ( k - \frac{4}{9}k + \frac{1}{6}k ) при ( k = 2 \frac{10}{13} ), сначала преобразуем ( k ) в неправильную дробь:

[
k = 2 \frac{10}{13} = 2 + \frac{10}{13} = \frac{2 \cdot 13 + 10}{13} = \frac{26 + 10}{13} = \frac{36}{13}.
]

Теперь подставим ( k ) в выражение:

[
k - \frac{4}{9}k + \frac{1}{6}k = \left(1 - \frac{4}{9} + \frac{1}{6}\right)k.
]

Теперь найдем общий знаменатель для дробей (\frac{4}{9}) и (\frac{1}{6}) и упростим (1 - \frac{4}{9} + \frac{1}{6}).

Общий знаменатель ( \text{lcm}(9, 6) = 18 ).

Теперь выразим каждую дробь с обычным знаменателем 18:

[
1 = \frac{18}{18}, \quad \frac{4}{9} = \frac{8}{18}, \quad \frac{1}{6} = \frac{3}{18}.
]

Подставим в выражение:

[
1 - \frac{4}{9} + \frac{1}{6} = \frac{18}{18} - \frac{8}{18} + \frac{3}{18} = \frac{18 - 8 + 3}{18} = \frac{13}{18}.
]

Теперь мы имеем:

[
k - \frac{4}{9}k + \frac{1}{6}k = \frac{13}{18}k.
]

Подставим ( k = \frac{36}{13} ):

[
\frac{13}{18} \cdot \frac{36}{13} = \frac{36}{18} = 2.
]

Таким образом, значение выражения ( k - \frac{4}{9}k + \frac{1}{6}k ) при ( k = 2 \frac{10}{13} ) равно ( 2 ).