Рассмотрим квадратные уравнения ( ax^2 + bx + c = 0 ) и ( bx^2 + cx + a = 0 ). Пусть ( x_0 ) — общий корень этих уравнений. Тогда мы можем записать:

( ax_0^2 + bx_0 + c = 0 ) (1)( bx_0^2 + cx_0 + a = 0 ) (2)

Из уравнения (1) выразим ( c ):

[
c = -ax_0^2 - bx_0
]

Теперь подставим это значение ( c ) в уравнение (2):

[
bx_0^2 + (-ax_0^2 - bx_0)x_0 + a = 0
]

Упростим второе уравнение:

[
bx_0^2 - ax_0^3 - bx_0^2 + a = 0
]

Сокращаем ( bx_0^2 ):

[
-ax_0^3 + a = 0
]

Вынесем общий множитель ( a ):

[
a(1 - x_0^3) = 0
]

Если ( a \neq 0 ), то получаем:

[
1 - x_0^3 = 0 \implies x_0^3 = 1
]

Таким образом, ( x_0 = 1 ).

Теперь рассмотрим случай, когда ( a = 0 ). Уравнение (1) тогда становится ( bx_0 + c = 0 ), то есть ( c = -bx_0 ). Уравнение (2) примет вид ( bx_0^2 - bx_0 + 0 = 0 ), которое можно записать как:

[
b(x_0^2 - x_0) = 0
]

Если ( b \neq 0 ), то ( x_0^2 - x_0 = 0 ), что дает ( x_0(x_0 - 1) = 0 ). Таким образом, в этом случае ( x_0 = 0 ) или ( x_0 = 1 ). Если ( b = 0 ), то уравнение (1) становится ( c = 0 ), и уравнение (2) сводится к ( a = 0 ), в таком случае любые ( x_0 ) являются корнями, и мы можем иметь ситуации, что 1 — также корень.

Таким образом, в любом случае, если ( a ) и ( b ) не равны нулю, или если одно из них нуль, общего корня ( x_0 ) будет 1.

Следовательно, мы доказали, что если квадратные уравнения ( ax^2 + bx + c = 0 ) и ( bx^2 + cx + a = 0 ) имеют общий корень, то этот корень равен 1.