Для нахождения длины биссектрисы ( l ), проведённой к боковой стороне в равнобедренном треугольнике с основанием ( a ) и углом при вершине ( 2\alpha ), воспользуемся следующей последовательностью действий.

Определим длину боковой стороны: Обозначим длину боковой стороны равнобедренного треугольника как ( b ). Величину ( b ) можно найти из теоремы синусов:

[
\frac{a/2}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(2\alpha)}
]

Используя формулу синуса двойного угла ( \sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) ), получаем:

[
b = \frac{a/2 \cdot 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = a\cos(\alpha)
]

Найдем длину биссектрисы: Биссектрису найдем по формуле:

[
l = \frac{2bc}{b + c} \cdot \cos\left(\frac{A}{2}\right)
]

где:

( A = 2\alpha ) — угол при вершине.( b ) и ( c ) — длины боковых сторон. В данном случае ( b = c ), так как треугольник равнобедренный.

Подставляем ( b = c = a \cos(\alpha) ):

[
l = \frac{2b^2}{2b} \cdot \cos(\alpha) = b \cos(\alpha)
]

Так как ( b = a \cos(\alpha) ):

[
l = a \cos^2(\alpha)
]

Таким образом, длина биссектрисы, проведённой к боковой стороне, равна ( l = a \cos^2(\alpha) ).