Чтобы найти угол между двумя прямыми, нужно определить их направляющие вектора и затем использовать скалярное произведение. Направляющие векторы можно найти, вычитая координаты концов отрезков.

a) Прямые AB и CD

Координаты:

A (3; -2; 4)B (4; -1; 2)C (6; -3; 2)D (7; -3; 1)

Направляющий вектор AB: [
\vec{AB} = B - A = (4 - 3; -1 + 2; 2 - 4) = (1; 1; -2)
]

Направляющий вектор CD: [
\vec{CD} = D - C = (7 - 6; -3 + 3; 1 - 2) = (1; 0; -1)
]

Скалярное произведение векторов: [
\vec{AB} \cdot \vec{CD} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + (-2) \cdot (-1) = 1 + 0 + 2 = 3
]

Длина векторов: [
|\vec{AB}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}
]
[
|\vec{CD}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}
]

Косинус угла между векторами: [
\cos \theta = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{CD}}{|\vec{AB}| |\vec{CD}|} = \frac{3}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{12}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}
]

Угол: [
\theta = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 30^\circ
]

б) Прямые AB и CD

Координаты:

A (5; -8; -1)B (6; -8; -2)C (7; -5; -11)D (7; -7; -9)

Направляющий вектор AB: [
\vec{AB} = B - A = (6 - 5; -8 + 8; -2 + 1) = (1; 0; -1)
]

Направляющий вектор CD: [
\vec{CD} = D - C = (7 - 7; -7 + 5; -9 + 11) = (0; -2; 2)
]

Скалярное произведение векторов: [
\vec{AB} \cdot \vec{CD} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot (-2) + (-1) \cdot 2 = 0 + 0 - 2 = -2
]

Длина векторов: [
|\vec{AB}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}
]
[
|\vec{CD}| = \sqrt{0^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{0 + 4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}
]

Косинус угла между векторами: [
\cos \theta = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{CD}}{|\vec{AB}| |\vec{CD}|} = \frac{-2}{\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}
]

Угол: [
\theta = \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = 120^\circ
]

Ответ:

a) угол между прямыми AB и CD равен 30°.
б) угол между прямыми AB и CD равен 120°.