Чтобы решить уравнение (|x+8| - |x-4| = -6), начнем с того, что приведем его к более простому виду:

[
|x+8| - |x-4| + 6 = 0
]

Для решения уравнения нужно рассмотреть возможные случаи для значений (x), так как модульные функции могут принимать разные значения в зависимости от знака выражения внутри модуля. В данном случае определим точки, в которых изменяются знаки под модулями:

(x + 8 = 0 \Rightarrow x = -8)(x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4)

Эти точки делят числовую прямую на три интервала:

(x < -8)(-8 \leq x < 4)(x \geq 4)

Теперь будем решать уравнение на каждом интервале.

1. Интервал: (x < -8)

На этом интервале (x + 8 < 0) и (x - 4 < 0), поэтому:
[
|x + 8| = -(x + 8) = -x - 8
]
[
|x - 4| = -(x - 4) = -x + 4
]

Подставляем в уравнение:
[
-x - 8 - (-x + 4) = -6
]
[
-x - 8 + x - 4 = -6
]
[
-12 = -6
]

Это равенство неверно, значит, на интервале (x < -8) решений нет.

2. Интервал: (-8 \leq x < 4)

На этом интервале (x + 8 \geq 0) и (x - 4 < 0), поэтому:
[
|x + 8| = x + 8
]
[
|x - 4| = -(x - 4) = -x + 4
]

Подставляем в уравнение:
[
x + 8 - (-x + 4) = -6
]
[
x + 8 + x - 4 = -6
]
[
2x + 4 = -6
]
[
2x = -10
]
[
x = -5
]

Проверяем, находится ли (x = -5) в интервале (-8 \leq x < 4). Да, это значение подходит.

3. Интервал: (x \geq 4)

На этом интервале (x + 8 \geq 0) и (x - 4 \geq 0), поэтому:
[
|x + 8| = x + 8
]
[
|x - 4| = x - 4
]

Подставляем в уравнение:
[
x + 8 - (x - 4) = -6
]
[
x + 8 - x + 4 = -6
]
[
12 = -6
]

Это равенство неверно, значит, на интервале (x \geq 4) решений нет.

Ответ

Единственным решением уравнения является:
[
x = -5
]