Для решения задачи воспользуемся свойствами квадрата и векторами.

Обозначим вершины квадрата MNPQ так, чтобы M и P были его соседними вершинами. Поскольку O — точка пересечения диагоналей квадрата, то она является центром квадрата. Это значит, что точки M, N, P и Q симметричны относительно точки O.

Обозначим векторы:

(\vec{OM}) — вектор от точки O до точки M,(\vec{OP}) — вектор от точки O до точки P,(\vec{F}) — вектор от точки O до точки F.

По условию задачи нам дано, что (FM = FR). Это означает, что точка F расположена на линии, которая делит отрезок MP пополам, так как FM = FR.

В квадрате MNPQ диагонали пересекаются под углом 90 градусов, поэтому векторы (\vec{OM}) и (\vec{OP}) перпендикулярны. Обозначим угол между векторами OM и OP как 90°.

Теперь необходимо показать, что прямая MP перпендикулярна плоскости FQN. Для этого заметим, что точка F, находясь на отрезке MP, может быть выражена как
[
\vec{F} = \frac{\vec{M} + \vec{P}}{2}.
]

Плоскость FQN определяется тремя точками F, Q и N. Векторы, лежащие в плоскости, можно выразить:

Вектор (\vec{FQ} = \vec{Q} - \vec{F}),Вектор (\vec{FN} = \vec{N} - \vec{F}).

Поскольку (\vec{F}) находится на отрезке между M и P, а сами векторы (\vec{FQ}) и (\vec{FN}) включают в себя диагонали квадрата (которые также пересекаются под 90°), то можно сказать, что они оба имеют компоненты, перпендикулярные (\vec{MP}).

Тогда вектор, направленный вдоль прямой MP, будет задаваться как:
[
\vec{MP} = \vec{P} - \vec{M}.
]

Мы видим, что (\vec{MP}) будет перпендикулярен как (\vec{FQ}), так и (\vec{FN}), а следовательно, прямая MP будет перпендикулярна плоскости, определяемой точками F, Q и N.

Таким образом, мы доказали, что прямая MP перпендикулярна к плоскости FQN.