Для решения данной задачи рассмотрим графики функций ( y = x^2 - 6x + 11 ) и ( y = x + 3 ).

1. Найдем общие точки с прямой ( y = m ):Для функции ( y = x^2 - 6x + 11 ):

Запишем уравнение:
[ m = x^2 - 6x + 11, ]
или
[ x^2 - 6x + (11 - m) = 0. ]

Это квадратное уравнение будет иметь два различных корня, если его дискриминант больше нуля:
[ D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (11 - m) = 36 - 4(11 - m) = 36 - 44 + 4m = 4m - 8. ]
Требуется, чтобы:
[ D > 0 \Rightarrow 4m - 8 > 0 \Rightarrow m > 2. ]

Для функции ( y = x + 3 ):

Запишем уравнение:
[ m = x + 3, ]
или
[ x = m - 3. ]

Здесь у нас одна точка пересечения, так как это уравнение линейное.

2. Условия для двух общих точек:

Теперь мы имеем два случая:

Для функции ( y = x^2 - 6x + 11 ) (при ( x \geq 2 )) у нас должны быть два пересечения, что требует ( m > 2 ).Для функции ( y = x + 3 ) (при ( x < 2 )) у нас будет одно пересечение.

Мы хотим, чтобы всего было ровно 2 общие точки между графиками. Это значит, что должно быть 2 решения для ( y = x^2 - 6x + 11 ) и 0 решений для ( y = x + 3 ).

3. Решение:

Для того чтобы не было пересечения с прямой ( y = x + 3 ), подставим ( x = 2 ):
[ y = 2 + 3 = 5. ]

Таким образом, чтобы прямая ( y = m ) не пересекалась с ( y = x + 3 ), должно выполняться:
[ m < 5. ]

Теперь мы имеем:

( m > 2 ) (две точки для параболы);( m < 5 ) (чтобы не было точки для прямой).

Таким образом, значения ( m ), при которых прямая ( y = m ) имеет ровно две общие точки с графиком, лежат в интервале:
[ 2 < m < 5. ]

Ответ:

Прямая ( y = m ) имеет ровно две общие точки с графиками при ( 2 < m < 5 ).