Для нахождения значения выражения ( x_1^2 + x_2^2 ) воспользуемся следующей формулой:

[
x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2
]

Корни ( x_1 ) и ( x_2 ) уравнения ( x^2 + 12x + 6 = 0 ) можно выразить через коэффициенты уравнения. По формуле Виета:

( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{12}{1} = -12 )( x_1 x_2 = \frac{c}{a} = \frac{6}{1} = 6 )

Теперь подставим эти значения в формулу:

Находим ( (x_1 + x_2)^2 ):
[
(x_1 + x_2)^2 = (-12)^2 = 144
]

Вычисляем ( 2x_1 x_2 ):
[
2x_1 x_2 = 2 \cdot 6 = 12
]

Теперь подставим эти значения в формулу:

[
x_1^2 + x_2^2 = 144 - 12 = 132
]

Таким образом, значение выражения ( x_1^2 + x_2^2 ) равно ( 132 ).