Для решения этой задачи важно обратить внимание на свойства сумм.

Обозначим 9 начальных цифр как ( a_1, a_2, \ldots, a_9 ). После того как дождливая Аня записала суммы, у нас остались числа ( a_1 + a_2, a_2 + a_3, \ldots, a_9 + a_1 ). Всего получится 9 чисел.

Теперь рассчитаем их сумму:
[
S = (a_1 + a_2) + (a_2 + a_3) + (a_3 + a_4) + (a_4 + a_5) + (a_5 + a_6) + (a_6 + a_7) + (a_7 + a_8) + (a_8 + a_9) + (a_9 + a_1) = 2(a_1 + a_2 + \ldots + a_9).
]
Таким образом, сумма новых чисел ( S ) равна ( 2 \times S_0 ), где ( S_0 = a_1 + a_2 + \ldots + a_9 ) — сумма начальных цифр. Это означает, что сумма новых чисел всегда четная.

Теперь вычислим сумму чисел, которые могут образоваться в результате:
[
10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 = 126.
]
Сумма 126 является четным числом. Это подходит под наше условие.

Теперь заметим, что все новые суммы представляют собой пары соседних цифр, и мы не можем тратить числа, упрощая детали.

Рассмотрим свойства чисел:

Пары, которые приводят к суммам, идут от минимального до максимального.Если у нас есть 9 пар, у нас есть 9 определенных мест, но необходимо учитывать, что минимальные и максимальные значения обуславливают сами цифры.

Рассмотрим разницу между максимальным и минимальным значением новых цифр:

Разницы между каждым числом составляют 1, 1, 1, и т. д., суммы будут лежать в пределах возможности выставить такие диапазоны начальных чисел (не только 0-9)

Это благоприятно, что у нас 9 разных цифр, которые могут их образовать, но мы также должны рассматривать ясность.

Для примера, если выбирать низкие к высокие суммы, высокий предел гораздо больше, чем минимально достигая 10; следовательно, не удастся сформировать четное распределенное множество, превращая в нужные элементы не нарушая законности чисел, пока их 9.

Итак, результат следует заключить:

Числа 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 вероятно не могли получиться, согласно арифметическим свойствам.