Чтобы найти количество четырёхзначных чисел, начинающихся с цифры 3, которые состоят из различных цифр и делятся на 60, сначала разберёмся с условиями делимости на 60. Число делится на 60, если оно делится на 4 и на 15.

Делимость на 15:

Число делится на 15, если оно делится на 3 и на 5.Для проверки делимости на 3 сумма его цифр должна быть делимой на 3.Для делимости на 5 последняя цифра числа должна быть 0 или 5. Поскольку число — четырёхзначное и начинается с цифры 3, для выполнения условия на 5 последней цифрой может быть только 0 (так как цифры должны быть различными).

Делимость на 4:

Число делится на 4, если последние две цифры образуют число, которое делится на 4. В нашем случае последние две цифры будут 0 и какая-то другая цифра.

Теперь определим структуру числа: оно имеет вид (3abc), где (a), (b), (c) — это цифры, которые нам нужно выбрать, соблюдая все условия:

Первая цифра 3.Последняя цифра c = 0.Цифры (a) и (b) должны быть разными и отличаться от 3 и 0.

Таким образом, мы можем выбрать (a) и (b) из оставшихся цифр: 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (всего 8 цифр, т.к. 3 и 0 нельзя использовать).

Теперь давайте найдем количество возможных комбинаций (a) и (b):

Мы выбираем 2 цифры из 8 оставшихся цифр, но при этом важен порядок, так как числа могут быть разными (например, 3410 и 3140 будут разными).

Парные выборы, а затем порядок:

Мы можем выбрать первую цифру (a) (8 способов).Для второй цифры (b) у нас остаётся 7 способов (поскольку одна уже выбрана).

Таким образом, общее число комбинаций будет:
[
8 \times 7 = 56
]

Теперь, для подтверждения делимости на 4 проверим пары:

Если мы выбрали 0 в качестве последней цифры, для делимости на 4, нам нужно проверить, что (3a0) делится на 4. Так как последняя цифра 0, предпоследняя цифра может быть любой (1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9), так как у нас не будет ни одной конфигурации, исключающей возможность делиться на 4.

Таким образом, итоговый ответ будет:
[
\text{Всего четырёхзначных чисел: } 56.
]

Поэтому, общее количество четырёхзначных чисел, начинающихся с 3, состоящих из различных цифр и делящихся на 60, равно 56.