Чтобы найти значение производной функции ( f(x) = \ln(5x) \cdot e^{2x} ) в точке, в которой значение этой функции равно ( 1 ), начнем с нахождения производной ( f'(x) ).

Используем правило произведения:

[
f'(x) = u(x) \cdot v'(x) + v(x) \cdot u'(x)
]

где ( u(x) = \ln(5x) ) и ( v(x) = e^{2x} ).

Сначала найдем производные ( u'(x) ) и ( v'(x) ):

( u(x) = \ln(5x) )

По праву производной:
[
u'(x) = \frac{5}{5x} = \frac{1}{x}
]

( v(x) = e^{2x} )

По праву производной:
[
v'(x) = 2e^{2x}
]

Теперь подставим эти результаты в формулу для производной ( f'(x) ):

[
f'(x) = \ln(5x) \cdot (2e^{2x}) + e^{2x} \cdot \frac{1}{x}
]
[
f'(x) = 2 \ln(5x) \cdot e^{2x} + \frac{e^{2x}}{x}
]
[
f'(x) = e^{2x} \left( 2 \ln(5x) + \frac{1}{x} \right)
]

Теперь нам нужно найти такое ( x ), при котором ( f(x) = 1 ):

[
f(x) = \ln(5x) \cdot e^{2x} = 1
]

Отсюда получаем:

[
\ln(5x) = \frac{1}{e^{2x}}
]

Теперь попробуем решить это уравнение. Упростим его, выразив ( x ):

Перепишем ( \ln(5x) = \frac{1}{e^{2x}} ):

Это уравнение может быть сложно решить аналитически, но можно попробовать подставить некоторые значения или использовать численный метод.

Предположим, что ( x = \frac{1}{5} ):

[
\ln(5 \cdot \frac{1}{5}) = \ln(1) = 0
]
[
e^{2 \cdot \frac{1}{5}} = e^{\frac{2}{5}}
]

Подставим это значение в ( f(x) ):

[
f\left(\frac{1}{5}\right) = 0 \cdot e^{\frac{2}{5}} = 0 \text{ (не подходит)}
]

Теперь попробуем ( x = 1 ):

[
f(1) = \ln(5) \cdot e^{2}
]

Найдем ( \ln(5) ) и подставим:

[
\ln(5) \cdot e^{2} \text{ тоже может быть не равно 1.}
]

Используем численные методы или интерполяцию или графическое представление для ускорения процесса поиска ( x ).

Предположим, что нашли нужное значение ( x ). Подставьте в формулу для ( f'(x) ):

После нахождения правильного ( x ), просто подставьте это значение в формулу для ( f'(x) ).

Если функция действительно равняется 1, производная будет равна:

[
f'(x) = e^{2x}\left( 2 \ln(5x) + \frac{1}{x} \right),
]

Теперь подставьте найденное ( x ) обратно, чтобы получить значение производной в нужной точке.

Эта задача потребует численного решения для нахождения точки, если не удается найти её аналитически.