Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции, нужно определить их экстремумы.

Наименьшее значение функции ( p(x) = x^2 - 10x + 7 )

Эта функция является квадратным трехчленом. Чтобы найти его минимум, можно воспользоваться формулой для нахождения координаты вершины параболы:

[
x = -\frac{b}{2a}
]

где ( a = 1 ) и ( b = -10 ):
[
x = -\frac{-10}{2 \cdot 1} = \frac{10}{2} = 5
]

Теперь подставим ( x = 5 ) в функцию, чтобы найти значение в этой точке:

[
p(5) = (5)^2 - 10(5) + 7 = 25 - 50 + 7 = -18
]

Таким образом, наименьшее значение функции ( p(x) ) равно (-18) при ( x = 5 ).

Наибольшее значение функции ( p(x) = -x^4 - 6x^2 + 4 )

Эта функция является многочленом четной степени и имеет вид вверх-вниз. Чтобы найти ее максимумы, найдем производную и приравняем к нулю:

[
p'(x) = -4x^3 - 12x
]

Упростим:

[
p'(x) = -4x(x^2 + 3)
]

Приравняем к нулю:

[
-4x(x^2 + 3) = 0
]

Решения:

( x = 0 )( x^2 + 3 = 0 ) (нет действительных решений)

Теперь подставим найденное значение ( x = 0 ) в функцию ( p(x) ):

[
p(0) = -0^4 - 6(0)^2 + 4 = 4
]

Кроме того, так как функция убывает на краях ( x \to \pm \infty ) (из-за наличия члена (-x^4)), максимум действительно достигается в точке ( x = 0 ).

Таким образом, наибольшее значение функции ( p(x) ) равно ( 4 ) при ( x = 0 ).

В итоге:

Наименьшее значение ( p(x) = x^2 - 10x + 7 ) равно (-18) при ( x = 5 ).Наибольшее значение ( p(x) = -x^4 - 6x^2 + 4 ) равно ( 4 ) при ( x = 0 ).