Обозначим записанное на доске число как ( N ). Условие задачи говорит, что если стереть первые две цифры, то число уменьшится в 149 раз. Это можно записать в виде уравнения:

[
N = 149 \cdot M
]

где ( M ) — это число, которое остается после того, как мы стерли первые две цифры из ( N ).

Предположим, что число ( N ) имеет в общем виде вид ( N = 100a + M ), где ( a ) — две первые цифры, а ( M ) — оставшаяся часть числа. Значит, целиком у нас есть:

[
100a + M = 149M
]

Перепишем это уравнение:

[
100a = 149M - M
]
[
100a = 148M
]

Отсюда выразим ( M ):

[
M = \frac{100a}{148} = \frac{50a}{74}
]

Таким образом, чтобы ( M ) было натуральным числом, ( 50a ) должно делиться на 74. Поскольку 50 и 74 имеют общий множитель 2, упростим это деление:

[
25a \text{ должно быть кратно } 37
]

Теперь находим подходящие значения для ( a ). Пробуем найти значения ( a ), такие что ( 25a = 37k ) для целого ( k ):

[
a = \frac{37k}{25}
]

Значит ( k ) должно быть кратно 25. Положим ( k = 25m ), тогда:

[
a = \frac{37 \times 25m}{25} = 37m
]

Так как ( a ) — две цифры, то:

[
10 \leq a < 100
]

Подставляя ( a ):

[
10 \leq 37m < 100
]

Решая неравенство, находим ( m ):

[
\frac{10}{37} \leq m < \frac{100}{37}
]

Это дает:

[
m \geq 1 \quad (приблизительно \, 0.27) \quad \text{и} \quad m < 2.7
]

Это значит, что ( m ) может быть равным 1 или 2. Пробуем эти значения.

Если ( m = 1 ): [
a = 37 \times 1 = 37
]
[
M = \frac{50 \times 37}{74} = 25
]
[
N = 100a + M = 100 \times 37 + 25 = 3700 + 25 = 3725
]

Если ( m = 2 ): [
a = 37 \times 2 = 74
]
[
M = \frac{50 \times 74}{74} = 50
]
[
N = 100a + M = 100 \times 74 + 50 = 7400 + 50 = 7450
]

Проверяем оба числа:

Для ( N = 3725 ): после стирания первых двух цифр ( M = 25 ), и ( \frac{3725}{25} = 149 ) - верно.Для ( N = 7450 ): после стирания первых двух цифр ( M = 50 ), и ( \frac{7450}{50} = 149 ) - верно.

Теперь считаем сумму всех подходящих чисел:

[
3725 + 7450 = 11175
]

Ответ: 11175