Чтобы разложить многочлен ( P(x) = x^3 + 5x^2 + 11x + 7 ) на множители, зная, что ( a = -1 ) является корнем, мы можем воспользоваться делением многочленов.

Подставим корень: Убедимся, что ( P(-1) = 0 ):

[
P(-1) = (-1)^3 + 5(-1)^2 + 11(-1) + 7 = -1 + 5 - 11 + 7 = 0
]

Корень проверен.

Деление многочлена: Теперь нужно разделить ( P(x) ) на ( (x + 1) ), используя синтетическое деление или деление многочленов.

Используем синтетическое деление:

Коэффициенты многочлена ( P(x) ): ( 1, 5, 11, 7 ) (соответствуют ( x^3, x^2, x^1, x^0 )).Подставляем корень ( -1 ):

[
\begin{array}{r|rrrr}
-1 & 1 & 5 & 11 & 7 \
& & -1 & -4 & -7 \
\hline
& 1 & 4 & 7 & 0 \
\end{array}
]

Получили ( 1, 4, 7 ). Это означает, что результатом деления будет ( x^2 + 4x + 7 ).

Запишем разложение:

[
P(x) = (x + 1)(x^2 + 4x + 7)
]

Проверим, можно ли разложить ( x^2 + 4x + 7 ). Находим дискриминант:

[
D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 16 - 28 = -12
]

Так как дискриминант отрицательный, ( x^2 + 4x + 7 ) не имеет действительных корней и не раскладывается на множители над действительными числами.

Таким образом, окончательное разложение многочлена будет:

[
P(x) = (x + 1)(x^2 + 4x + 7)
]

На комплексных числах, можно дополнительно разложить ( x^2 + 4x + 7 ) в виде:

[
x^2 + 4x + 7 = \left( x + 2 - i\sqrt{3} \right)\left( x + 2 + i\sqrt{3} \right)
]

Но в пределах действительных чисел ответ остается как ( P(x) = (x + 1)(x^2 + 4x + 7) ).