Для сравнения чисел ( 7^{30} ) и ( 4^{40} ) удобно привести их к одной степени. Для этого можно сделать следующее:

Преобразуем ( 4^{40} ) в основание 2, так как ( 4 = 2^2 ).
[
4^{40} = (2^2)^{40} = 2^{80}
]

Теперь сравним ( 7^{30} ) и ( 2^{80} ). Для этого применим логарифмическое сравнение:
[
30 \cdot \log(7) \quad \text{и} \quad 80 \cdot \log(2)
]

Вычислим ( \log(7) ) и ( \log(2) ) с использованием приближенных значений (например, основание 10):

Теперь подставим эти значения в наши выражения:
[
30 \cdot \log(7) \approx 30 \cdot 0.845 = 25.35
]
[
80 \cdot \log(2) \approx 80 \cdot 0.301 = 24.08
]

Теперь сравним полученные результаты:
[
25.35 > 24.08
]

Поскольку ( 30 \cdot \log(7) > 80 \cdot \log(2) ), мы заключаем, что:
[
7^{30} > 4^{40}
]

Таким образом, ( 7^{30} ) больше, чем ( 4^{40} ).