Давайте разберёмся с отношением R, которое задаётся условием: ( a R b ) тогда и только тогда, когда ( a = 2b ).

Рефлексивность: Отношение R является рефлексивным, если для любого числа ( a ) выполняется ( a R a ). Однако здесь ( a R a ) будет означать, что ( a = 2a ), что выполняется только для ( a = 0 ). Поэтому можно сказать, что отношение R не является рефлексивным (не выполняется для всех ( a )), и, поскольку не выполняется для всех значений, оно также не является антирефлексивным.

Симметричность: Отношение R симметрично, если для любых ( a ) и ( b ), если ( a R b ), то также ( b R a ). В данном случае, если ( a = 2b ), это не означает, что ( b = 2a ). Например, для ( a = 2 ) и ( b = 1 ), выполняется ( 2 R 1 ) (так как ( 2 = 2 \cdot 1 )), но не выполняется ( 1 R 2 ) (так как ( 1 \neq 2 \cdot 2 )). Следовательно, отношение не является симметричным.

Антисимметричность: Антисимметричность означает, что если ( a R b ) и ( b R a ), то ( a = b ). В нашем случае, если ( a R b ) — это значит, что ( a = 2b ), и если бы также выполнялось ( b R a ), что означает ( b = 2a ), это бы значило, что ( a = 2b ) и ( b = 2a ). Решая систему уравнений можно увидеть, что это приводит только к ( a = 0 ) и ( b = 0 ). Для любых других значений ( a ) и ( b ) будет ( 2b \neq a ) и ( 2a \neq b ). Таким образом, отношение антисимметрично.

Итак, подытожим:

Если вашему преподавателю требуется более детальное объяснение, вы можете подчеркнуть, что пример с ( a = 2 ) и ( b = 1 ) является ключевым для объяснения симметричности.