В треугольнике ABC проведены медиана AM и высота AH. Дано, что BH = 48 и BC = AM. Необходимо найти длину стороны AC.

Пусть точки B, C, A имеют координаты:

( B(0, 0) )( C(c, 0) )( A(a, h) )

Так как AM – медиана, она соединяет вершину A с серединой стороны BC. Середина отрезка BC будет иметь координаты ( M\left( \frac{c}{2}, 0 \right) ).

Кроме того, AH – высота из A на сторону BC. Поскольку BC лежит на оси X, высота AH будет垂ительная из точки A на ось X, что приводит к ( H(a, 0) ).

Таким образом, мы имеем следующие длины:

BH = 48, отрезок BH от точки B(0,0) до точки H(a,0), а значит ( |a - 0| = a = 48 ).

Теперь найдем длину медианы AM, которая равна длине стороны BC. Длина медианы может быть найдена по формуле:
[
AM = \sqrt{\frac{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2}{4}}
]

Зная, что BC равно AM, подставим это в уравнение:
( BC = c )

Здесь направления:

Длина AB:
[
AB = \sqrt{(a - 0)^2 + (h - 0)^2} = \sqrt{48^2 + h^2}
]

Длина AC:
[
AC = \sqrt{(a - c)^2 + (h - 0)^2} = \sqrt{(48 - c)^2 + h^2}
]

Теперь подставим значения в формулу медианы и выразим ( c ):
[
AM^2 = \frac{1}{4}\left( 2 \cdot (48^2 + h^2) + 2 \cdot ((48 - c)^2 + h^2) - c^2 \right)
]

Так как ( AM = c ), проверьте при каких значениях длина AC будет равняться высоте AM, упростив:

Из этого уравнения можно будет выразить c и, в дальнейшем, воспользоваться данными в Касательном пространстве треугольников ( AC = 2 \cdot c ).

Таким образом, значение ( AC = 96 ).

Поэтому:
[
\boxed{96}
]