Обозначим количество видов животных как ( n = 6 ). Пусть ( X ) — это количество различных видов животных, которые фермер увидит, заходя в сарай 6 раз. Мы хотим найти математическое ожидание ( E(X) ).

Для решения задачи удобно использовать метод индикационных случайных переменных. Рассмотрим индикаторные переменные ( I_i ) для каждого вида животных ( i ) (где ( i = 1, 2, \ldots, 6 )), такие что:

[
I_i = \begin{cases}
1, & \text{если фермер увидел вид } i \
0, & \text{иначе}
\end{cases}
]

Тогда общее количество различных видов животных, которые фермер увидит, можно выразить как:

[
X = I_1 + I_2 + I_3 + I_4 + I_5 + I_6
]

Для того чтобы найти математическое ожидание ( E(X) ), мы используем линейность математического ожидания:

[
E(X) = E(I_1) + E(I_2) + E(I_3) + E(I_4) + E(I_5) + E(I_6)
]

Теперь нам нужно вычислить ( E(I_i) ) для каждого вида ( i ). Вероятность того, что фермер увидит вид ( i ) хотя бы один раз за 6 заходов, можно найти через вероятности, что он не увидит этот вид за все 6 заходов.

Вероятность того, что за один заход он не увидит конкретный вид ( i ), равна ( \frac{5}{6} ) (так как всего 6 видов). Тогда вероятность того, что он не увидит этот вид ни разу за 6 заходов, равна:

[
P(I_i = 0) = \left(\frac{5}{6}\right)^6
]

Следовательно, вероятность того, что он увидит вид ( i ) хотя бы один раз, равна:

[
P(I_i = 1) = 1 - P(I_i = 0) = 1 - \left(\frac{5}{6}\right)^6
]

Теперь можем найти ( E(I_i) ):

[
E(I_i) = P(I_i = 1) = 1 - \left(\frac{5}{6}\right)^6
]

Теперь уже можем подставить это значение в выражение для ( E(X) ):

[
E(X) = 6 \cdot \left(1 - \left(\frac{5}{6}\right)^6\right)
]

Теперь вычислим ( (5/6)^6 ):

[
\left(\frac{5}{6}\right)^6 \approx 0.3349
]

Таким образом,

[
1 - \left(\frac{5}{6}\right)^6 \approx 1 - 0.3349 \approx 0.6651
]

Теперь мы можем найти ( E(X) ):

[
E(X) \approx 6 \cdot 0.6651 \approx 3.9906 \approx 4
]

Итак, математическое ожидание количества различных видов животных, которых фермер увидит за день, приблизительно равно 4.