Чтобы решить уравнение ( x^2 + 1 = 0 \mod 25 ), сначала преобразуем его в более понятную форму:

[ x^2 \equiv -1 \mod 25. ]

Теперь нужно найти такие целые числа ( x ), которые при возведении в квадрат дают -1 по модулю 25.

Зная, что ( x^2 \equiv -1 ) можно переписать как ( x^2 \equiv 24 \mod 25 ) (так как ( -1 \mod 25 = 24 )).

Теперь мы можем попробовать найти такие ( x ):

Переберем значения от 0 до 24 для ( x ) и найдем квадраты:

( 0^2 \mod 25 \equiv 0 )( 1^2 \mod 25 \equiv 1 )( 2^2 \mod 25 \equiv 4 )( 3^2 \mod 25 \equiv 9 )( 4^2 \mod 25 \equiv 16 )( 5^2 \mod 25 \equiv 0 )( 6^2 \mod 25 \equiv 11 )( 7^2 \mod 25 \equiv 24 )( 8^2 \mod 25 \equiv 14 )( 9^2 \mod 25 \equiv 6 )( 10^2 \mod 25 \equiv 0 )( 11^2 \mod 25 \equiv 21 )( 12^2 \mod 25 \equiv 19 )( 13^2 \mod 25 \equiv 24 )( 14^2 \mod 25 \equiv 21 )( 15^2 \mod 25 \equiv 0 )( 16^2 \mod 25 \equiv 6 )( 17^2 \mod 25 \equiv 14 )( 18^2 \mod 25 \equiv 24 )( 19^2 \mod 25 \equiv 11 )( 20^2 \mod 25 \equiv 16 )( 21^2 \mod 25 \equiv 9 )( 22^2 \mod 25 \equiv 4 )( 23^2 \mod 25 \equiv 1 )( 24^2 \mod 25 \equiv 0 )

Таким образом, нам подходят следующие значения:

( x \equiv 7 \mod 25 ) и( x \equiv 18 \mod 25 ).

Итак, решения уравнения ( x^2 + 1 \equiv 0 \mod 25 ) — это:

[ x \equiv 7 \mod 25 ]
или
[ x \equiv 18 \mod 25. ]