Чтобы выяснить, какое число необходимо прибавить к многочлену ( 4x^2 - 28x + 43 ), чтобы он стал квадратом двучлена, начнем с представления многочлена в виде квадрата:

[
4x^2 - 28x + 43 + k = (ax + b)^2,
]

где ( k ) — искомое число, которое нужно найти.

Вспомним, что квадрат двучлена ( (ax + b)^2 ) имеет вид:

[
a^2x^2 + 2abx + b^2.
]

Мы можем сопоставить коэффициенты:

( a^2 = 4 ) (коэффициент при ( x^2 )),( 2ab = -28 ) (коэффициент при ( x )),( b^2 = 43 + k ) (свободный член).

Шаг 1: Найдем ( a ).

Поскольку ( a^2 = 4 ), то ( a = 2 ) или ( a = -2 ). Мы возьмем ( a = 2 ) (это не влияет на конечный результат).

Шаг 2: Найдем ( b ).

Теперь подставим ( a = 2 ) в выражение для ( 2ab ):

[
2 \cdot 2 \cdot b = -28 \Rightarrow 4b = -28 \Rightarrow b = -7.
]

Шаг 3: Найдем ( k ).

Теперь подставим ( a = 2 ) и ( b = -7 ) в уравнение ( b^2 = 43 + k ):

[
(-7)^2 = 43 + k \Rightarrow 49 = 43 + k \Rightarrow k = 49 - 43 = 6.
]

Таким образом, чтобы многочлен ( 4x^2 - 28x + 43 ) стал квадратом двучлена, необходимо прибавить ( 6 ).

Ответ: Необходимо прибавить ( 6 ).

Проверка:

Теперь убедимся, что ( 4x^2 - 28x + 43 + 6 ) действительно является квадратом двучлена:

[
4x^2 - 28x + 49 = (2x - 7)^2.
]

Мы видим, что все правильно, и многочлен стал квадратом двучлена.