Рассмотрим последовательность натуральных чисел ( a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n ), которую выписала Аня. Условия задачи задают правила изменения каждого следующего числа:

( a_{i+1} = a_i + 10 )( a_{i+1} = a_i \cdot 7 )

Также известно, что сумма всех чисел равна 21, т.е. ( a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n = 21 ).

Мы будем искать минимальное количество чисел ( n ), учитывая, что каждое число - натуральное и ( n > 1 ).

Подход к решению

Попробуем использовать дробные множители (умножение на 7), что предполагает быстрое увеличение значения. Однако, так как суммы не превышают 21, будем надеяться, что начинаем с небольших чисел.

Рассмотрим, как можно построить последовательность с разной комбинацией прибавления 10 и умножения на 7.

Первая проверка

Начнем с маленького натурального числа (например, 1):

( a_1 = 1 )
( a_2 = 1 \cdot 7 = 7 )( a_3 = 7 + 10 = 17 ) (но сумма = ( 1 + 7 + 17 = 25 ), больше 21)( a_3 = 1 + 10 = 11 )( a_2 = 11 )
[ a_3 = 11 \cdot 7 = 77 ] (выход за пределы)Попробуем другой старт

Используя ( a_1 = 2 ):

( a_1 = 2 )
( a_2 = 2 \cdot 7 = 14 ) (и даже 2 + 10 = 12, недостаточно)( a_3 = 2 + 10 = 12, \, 12 \cdot 7 = 84 ) (выход за пределы)Продолжим с числом 3( a_1 = 3 )
( a_2 = 3 \cdot 7 = 21 ) (выход за пределы)( a_2 = 3 + 10 = 13 )( a_2 = 3 \cdot 7 = 21 ) (а это уже предел)Проверяем с ( a_1 = 4 )( a_1 = 4 )
( a_2 = 4 + 10 = 14 )( 4 + 14 = 18 ), но растем!Составим разные калмыцкие суммы( a_1 = 5: ) 5, 15( a_1 = 6: ) 6,13Нашли ( a_1=1, 1, 1 ) (четыре)

Наконец, можно получается:

( 1, 1, 1, 18 )

Значит, итоговый вывод:

Наименьшее количество чисел

Аня могла выписать в ряд минимум: 3 числа (арифметически это обеспечивается такими прямолинейными приращениями и мы находим среди кратных 7 и кратных десяти). цели использования кратных 21 и перерасходов параметров не состоится.

Таким образом ответ: 3.