Обозначим количество нажатий на первую кнопку как ( x ), а количество нажатий на вторую кнопку как ( y ). Тогда общее количество конфет, которое получает Антон, можно выразить формулой:

[
C = 12x + 13y
]

Для того чтобы можно было точно определить, сколько раз Антон нажал на каждую кнопку, количество конфет ( C ) должно быть таким, чтобы система уравнений, образованная из ( C ), имела единственное целое неотрицательное решение. Это возможно, если ( C ) принимает определённые остатки по модулю 12 и 13.

Заметим, что 12 и 13 являются взаимно простыми числами. Если ( C ) не заведомо делится на одно из них, то ячеек в системе "C по 12 и C по 13" будет достаточно много, и может возникнуть несколько комбинаций.

Чтобы находить такие ( C ), используем метод линейной комбинации. Поскольку 12 и 13 не имеют общих делителей (кроме 1), для простоты можно сказать, что антенна сможет получать разное количество конфет и во множестве выходных значений:

[
k = 12m + 13n \quad (m,n \geq 0)
]

Таким образом, максимальный ( C ) будет равен:

[
C_{max} = 12 \cdot 13 - 12 - 13 = 156 - 25 = 131
]

Таким образом, максимальное количество конфет, которое может получить Антон, так, чтобы его можно было выразить уникально, равно 131.