Обозначим количество комнат в дворце как ( n ). Пусть ( x ), ( y ) и ( z ) - это количество комнат, в которых стоят букеты из роз, гвоздик и хризантем соответственно. Из условия задачи мы знаем следующее:

Всего 30 букетов из роз: ( r_1 + r_2 + ... + r_x = 30 )Всего 20 букетов из гвоздик: ( g_1 + g_2 + ... + g_y = 20 )Всего 10 букетов из хризантем: ( h_1 + h_2 + ... + h_z = 10 )

Также нам даны пересечения:

В двух комнатах стоят одновременно и хризантемы, и гвоздики.В трех комнатах стоят одновременно и хризантемы, и розы.В четырех комнатах стоят одновременно и гвоздики, и розы.

Для удобства вложим данные в сетевую диаграмму:

( a ) - количество комнат, где стоят только гвоздики.( b ) - количество комнат, где стоят только розы.( c ) - количество комнат, где стоят только хризантемы.( d ) - количество комнат, где стоят гвоздики и хризантемы (2 комнаты).( e ) - количество комнат, где стоят хризантемы и розы (3 комнаты).( f ) - количество комнат, где стоят гвоздики и розы (4 комнаты).( g ) - количество комнат, где стоят все три вида цветов.

Из данных о пересечениях:

Для гвоздик и хризантем: ( d + g = 2 )Для хризантем и роз: ( e + g = 3 )Для гвоздик и роз: ( f + g = 4 )

Теперь подставим ( g = x ):

( d + x = 2 ) => ( d = 2 - x )( e + x = 3 ) => ( e = 3 - x )( f + x = 4 ) => ( f = 4 - x )

Теперь мы можем выразить количество комнат через ( x ):

[
n = a + b + c + d + e + f + g
]
[
n = a + b + c + (2 - x) + (3 - x) + (4 - x) + x
]
[
n = a + b + c + 9 - 2x
]

При этом должно выполняться следующее:

( a + d + f \geq 20 ) (гвоздики)( b + e + f \geq 30 ) (розы)( c + d + e \geq 10 ) (хризантемы)

Подставив выражения для ( d ), ( e ) и ( f ):

( a + (2 - x) + (4 - x) \geq 20 )
[
a + 6 - 2x \geq 20 \Rightarrow a \geq 14 + 2x
]

( b + (3 - x) + (4 - x) \geq 30 )
[
b + 7 - 2x \geq 30 \Rightarrow b \geq 23 + 2x
]

( c + (2 - x) + (3 - x) \geq 10 )
[
c + 5 - 2x \geq 10 \Rightarrow c \geq 5 + 2x
]

Теперь подставим ( a ), ( b ) и ( c ) в выражение для ( n ):

[
n = (14 + 2x) + (23 + 2x) + (5 + 2x) + (9 - 2x)
]
[
= 51 + 4x
]

Таким образом, ( n ) будет увеличиваться по мере увеличения ( x ). Чтобы ( n ) имело смысл:

( a, b, c ) должны быть неотрицательными, а ( x ) должно принимать целые неотрицательные значения.

Так как ( d + g = 2 ), например, если ( x = 1 ), мы имеем:

( d = 1 )( e = 2 )( f = 3 )

Так что ( n = 51 + 4(1) = 55 ).

Проверяя другие значения ( x ):

( x = 0 ): ( n = 51 )( x = 1 ): ( n = 55 )( x = 2 ): ( d = 0 ), ( e = 1 ), ( f = 2 ), тогда ( n = 51 + 8 = 59) (возможны ли такие условия? ( d, e, f ) должны быть положительными)

Максимум получается при ( x = 1 ) и будет:

Ответ: 55.