Пусть количество ног инопланетянина равно ( n ). Он надевал носки следующим образом:

На первую ногу - 1 носок,На вторую - 2 носка,На третью - 3 носка,И так далее, до ( n )-й ноги, на которую он надел ( n ) носков.

Общее количество носков можно выразить как сумму первых ( n ) натуральных чисел, которая равна:

[
1 + 2 + 3 + \ldots + n = \frac{n(n + 1)}{2}
]

Мы знаем, что общее количество носков равно 45:

[
\frac{n(n + 1)}{2} = 45
]

Умножим обе стороны уравнения на 2:

[
n(n + 1) = 90
]

Теперь нужно решить это уравнение. Раскроем скобки:

[
n^2 + n - 90 = 0
]

Применим формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

[
n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]

где ( a = 1 ), ( b = 1 ), ( c = -90 ):

[
n = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-90)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 360}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{361}}{2}
]

Следовательно:

[
n = \frac{-1 \pm 19}{2}
]

Решения:

[
n = \frac{18}{2} = 9 \quad \text{или} \quad n = \frac{-20}{2} = -10
]

Поскольку количество ног не может быть отрицательным, у инопланетянина 9 ног.