Давайте начнем с уравнения, которое у нас есть:

[
\frac{3x - 1}{3x + 1} + \frac{2x - 3}{2x + 3} = \left(\frac{3x - 1}{3x + 1}\right) \left(\frac{2x - 3}{2x + 3}\right).
]

Обозначим первую дробь как ( A = \frac{3x - 1}{3x + 1} ) и вторую дробь как ( B = \frac{2x - 3}{2x + 3} ). Тогда у нас получается следующее уравнение:

[
A + B = A \cdot B.
]

Переносим все на одну сторону:

[
A + B - AB = 0.
]

Теперь преобразуем это уравнение. Умножим его на ( (3x + 1)(2x + 3) ) (чтобы избавиться от дробей):

[
(3x - 1)(2x + 3) + (2x - 3)(3x + 1) - (3x - 1)(2x - 3) = 0.
]

Теперь нужно раскрыть скобки и привести подобные члены:

Раскроем первый член:

[
(3x - 1)(2x + 3) = 6x^2 + 9x - 2x - 3 = 6x^2 + 7x - 3.
]

Раскроем второй член:

[
(2x - 3)(3x + 1) = 6x^2 + 2x - 9x - 3 = 6x^2 - 7x - 3.
]

Теперь третий член:

[
(3x - 1)(2x - 3) = 6x^2 - 9x - 2x + 3 = 6x^2 - 11x + 3.
]

Теперь составим уравнение:

[
(6x^2 + 7x - 3) + (6x^2 - 7x - 3) - (6x^2 - 11x + 3) = 0.
]

Сложим:

[
6x^2 + 7x - 3 + 6x^2 - 7x - 3 - 6x^2 + 11x - 3 = 0.
]

Упрощаем:

[
(6x^2 - 6x^2) + (7x - 7x + 11x) + (-3 - 3 - 3) = 0,
]

что дает нам:

[
11x - 9 = 0.
]

Решим это уравнение:

[
11x = 9 \implies x = \frac{9}{11}.
]

Теперь нужно проверить, что полученное значение ( x ) не приводит к делению на ноль в исходных дробях. Проверим:

Для первой дроби: ( 3x + 1 ) при ( x = \frac{9}{11} ):

[
3\left(\frac{9}{11}\right) + 1 = \frac{27}{11} + 1 = \frac{27}{11} + \frac{11}{11} = \frac{38}{11} \neq 0.
]

Для второй дроби: ( 2x + 3 ):

[
2\left(\frac{9}{11}\right) + 3 = \frac{18}{11} + 3 = \frac{18}{11} + \frac{33}{11} = \frac{51}{11} \neq 0.
]

Оба знаменателя не равны нулю, значит, наше значение допустимо.

Таким образом, все значения переменной ( x ), удовлетворяющие исходному уравнению, это:

[
\boxed{\frac{9}{11}}.
]