Для того чтобы использовать равенство ( \cos^2 x + \sin^2 x = 1 ) внутри неявных преобразований без нарушения области определения, следует учесть несколько условий.

Область определения функций: Функции ( \cos x ) и ( \sin x ) определены для всех значений ( x ) на действительной оси, следовательно, равенство можно применять в любой точке.

Неявные преобразования: Неявные преобразования обычно подразумевают замену одних функций на другие. В случае данного равенства, если мы, например, заменим ( \sin^2 x ) на ( 1 - \cos^2 x ) или наоборот, нам следует следить за тем, чтобы такие преобразования зимой не привели к ситуациям, где один из аргументов становится равным ( \sin x ) или ( \cos x ) в неподходящих местах, например, при делении на нуль (что в данном случае не происходит, но важно помнить об этом принципе).

Параметрическое представление: Если вводится параметризация, например, ( t = \tan x ), то важно следить, чтобы значения, которые принимает ( t ), не привели к неопределённостям. Поскольку ( \tan x ) имеет разрывы на ( x = \frac{\pi}{2} + k\pi ) (где ( k ) — целое число), необходимо избегать этих значений.

Применение в треугольниках и кругах: Если работают с тригонометрическим окружением, важно помнить, что равенство можно использовать для любой точки на окружности, но при этом нужно следить за определёнными квадрантами, в которых знаки функций могут изменяться.

Таким образом, равенство ( \cos^2 x + \sin^2 x = 1 ) можно использовать в любом месте, где определены ( \sin x ) и ( \cos x ), но важно быть внимательным при применении его в контексте других преобразований, чтобы избежать деления на нуль и других неопределённостей.