Уравнение ( x^2 - y^2 = 15 ) можно записать в виде разности квадратов:

[
(x - y)(x + y) = 15
]

Это позволяет рассматривать ( x - y ) и ( x + y ) как два множителя, произведение которых равно 15. Поскольку ( x ) и ( y ) должны быть целыми числами, и разность ( x - y ) и сумма ( x + y ) также будут целыми числами, мы можем выделить все пары множителей целого числа 15.

Чтобы найти все целые решения, сначала нужно перечислить все возможные пары ( (d_1, d_2) ), где ( d_1 = x - y ) и ( d_2 = x + y ). Эти множители могут быть как положительными, так и отрицательными. Факторы 15:

[
(1, 15), \, (3, 5), \, (-1, -15), \, (-3, -5), \, (15, 1), \, (5, 3), \, (-15, -1), \, (-5, -3)
]

Для каждого множителя мы можем решить систему уравнений:

( x - y = d_1 )( x + y = d_2 )

Сложив и вычитая эти уравнения, получаем:

[
x = \frac{d_1 + d_2}{2}, \quad y = \frac{d_2 - d_1}{2}
]

Теперь важно, чтобы и ( x ), и ( y ) были целыми числами, что означает, что сумма ( d_1 + d_2 ) и разность ( d_2 - d_1 ) должны быть четными числами.

Теперь рассмотрим все пары:

для ( (1, 15) ):

( d_1 + d_2 = 16 ) (четное)( d_2 - d_1 = 14 ) (четное)( x = 8, \, y = 7 )

для ( (3, 5) ):

( d_1 + d_2 = 8 ) (четное)( d_2 - d_1 = 2 ) (четное)( x = 4, \, y = 1 )

для ( (-1, -15) ):

( d_1 + d_2 = -16 ) (четное)( d_2 - d_1 = -14 ) (четное)( x = -8, \, y = -7 )

для ( (-3, -5) ):

( d_1 + d_2 = -8 ) (четное)( d_2 - d_1 = -2 ) (четное)( x = -4, \, y = -1 )

для ( (15, 1) ):

( d_1 + d_2 = 16 ) (четное)( d_2 - d_1 = -14 ) (четное)( x = 8, \, y = -7 )

для ( (5, 3) ):

( d_1 + d_2 = 8 ) (четное)( d_2 - d_1 = -2 ) (четное)( x = 4, \, y = -1 )

для ( (-15, -1) ):

( d_1 + d_2 = -16 ) (четное)( d_2 - d_1 = 14 ) (четное)( x = -8, \, y = 7 )

для ( (-5, -3) ):

( d_1 + d_2 = -8 ) (четное)( d_2 - d_1 = 2 ) (четное)( x = -4, \, y = 1 )

В итоге, все найденные пары ( (x,y) ):

( (8, 7) )( (4, 1) )( (-8, -7) )( (-4, -1) )( (8, -7) )( (4, -1) )( (-8, 7) )( (-4, 1) )

Таким образом, все целые решения данного уравнения:

[
(x, y) = (8, 7), (4, 1), (-8, -7), (-4, -1), (8, -7), (4, -1), (-8, 7), (-4, 1)
]

В этой задаче, хватит использовать методы разложения на множители и систему линейных уравнений для нахождения целых решений.