Интегрирование по частям — это метод вычисления определённых интегралов, который основан на формуле:

[
\int u \, dv = uv - \int v \, du
]

где ( u ) и ( dv ) — это функции, которые мы выбираем. Для того чтобы успешно применить этот метод, необходимо выполнить несколько условий:

Условия на функции:

Дифференцируемость: Функция ( u ) должна быть дифференцируемой, а функция ( v ) (которая соответствует ( dv )) — непрерывной и интегрируемой на рассматриваемом отрезке.

Непрерывность: Функция ( u ) должна быть непрерывной на отрезке интегрирования, чтобы существовал интеграл ( \int v \, du ).

Неопределённость: В некоторых случаях интеграл ( \int v \, du ) может оказаться проблематичным для нахождения или его значение может быть неограниченно, поэтому нужно выбирать такие ( u ) и ( dv ), чтобы интеграл ( \int v \, du ) можно было вычислить.

Случаи, когда формула неприменима:

Недостаток непрерывности и дифференцируемости: Если функции ( u ) или ( v ) имеют разрывы или не являются дифференцируемыми в точках, где это необходимо, интегрирование по частям может не сработать.

Сложные функции: Если интеграл ( \int v \, du ) становится более сложным, чем исходный интеграл, то есть приводит к более трудоемким вычислениям, возможно, стоит рассмотреть другие методы интегрирования.

Функции, приводящие к бесконечности: Если в процессе вычисления возникают выражения, которые не имеют определённого значения (например, бесконечности), то использование метода может быть проблематичным.

Неправильный выбор функций: Неверный выбор функций ( u ) и ( dv ) может привести к ситуации, когда расчёт становится невозможным или нецелесообразным.

Когда вы применяете интегрирование по частям, лучше всего заранее оценить, насколько успешно вы сможете вычислить получающийся интеграл, и, возможно, пробовать различные варианты выбора функций ( u ) и ( dv ).