Точечная и по мере сходимость — две разные концепции, описывающие поведение последовательностей функций. Давайте подробнее разберем эти два типа сходимости и приведем примеры, где они различаются.

Точечная сходимость

Последовательность функций ( f_n(x) ) сходится точечно к функции ( f(x) ), если для каждого ( x ) из области определения функции выполняется:

[
\lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x).
]

Это означает, что для каждого фиксированного ( x ) предел последовательности ( f_n(x) ) существует и равен ( f(x) ).

Сходимость по мере

Одна последовательность функций ( f_n ) сходится к функции ( f ) по мере (или в смысле меры) на измеримой области, если для любого ( \epsilon > 0 ):

[
\lim_{n \to \infty} m({ x : |f_n(x) - f(x)| \geq \epsilon }) = 0,
]

где ( m ) — мера (например, длина на отрезке, площадь на области и т.д.). Это означает, что на множестве, где функции ( f_n(x) ) отклоняются от ( f(x) ) более чем на ( \epsilon ), меры этого множества стремятся к нулю, что позволяет "игнорировать" поведение функций на множестве нулевой меры.

Различия и примеры

Теперь рассмотрим ситуации, когда точечная и по мере сходимость различаются.

Пример с точечной и по мере сходимостью:

Пусть ( f_n(x) = x^n ) на интервале ( [0, 1] ).

Точечная сходимость:

Для любого ( x \in [0, 1) ): ( \lim_{n \to \infty} f_n(x) = 0 ).Для ( x = 1 ): ( \lim_{n \to \infty} f_n(1) = 1 ).Таким образом, ( f_n(x) ) сходится точечно к функции

[
f(x) =
\begin{cases}
0, & \text{если } 0 \leq x < 1, \
1, & \text{если } x = 1.
\end{cases}
]

Сходимость по мере:

Проверим, што:

[
m({ x : |f_n(x) - f(x)| \geq \epsilon }) = m([0, 1)) = 1 \text{ для любого } n.
]

Это не стремится к нулю с увеличением ( n ), следовательно, последовательность не сходится по мере на ([0, 1]).

Пример с сходимостью по мере, но не точечной:

Пусть теперь ( f_n(x) = \frac{x}{n} ) на интервале ( [0, 1] ):

Точечная сходимость:

[
\lim_{n \to \infty} f_n(x) = 0 \text{ для любого } x \in [0, 1].
]

Сходимость по мере:

Мы также видим, что

[
m({ x : |f_n(x) - 0| \geq \epsilon }) = m([0, n\epsilon]) = \frac{n\epsilon}{n} = \epsilon \text{ при } n \to \infty.
]

Но поскольку здесь это остравание функцией, ( f_n \to 0 ) по мере.

Критические случаи

Анализ сходимости в интегралах: В задачах, где важно поведение интегралов (например, в теореме Лебега о доминированной сходимости), разница между точечной и по мере сходимостью может привести к разным результатам.

Функциональный анализ: В функциональном анализе различия могут быть критичны при работе с пространствами интегрируемых и ограниченных функций, где требуются строгие условия для применения теорем о предельных переходах.

Вероятностная теория: Различия между точечной и по мере сходимостью могут оказать влияние на закон больших чисел и центральную предельную теорему.

Таким образом, точечная и по мере сходимость являются важными понятиями, которые имеют свои специфические приложения и нюансы, особенно в математическом анализе и теории вероятностей.