Критерий неприводимости квадратного многочлена ( f(x) = ax^2 + bx + c ) над полем рациональных чисел выглядит следующим образом:

Если ( a ), ( b ), и ( c ) — рациональные числа, то многочлен ( f(x) ) неприводим над (\mathbb{Q}) тогда и только тогда, когда его дискриминант ( D = b^2 - 4ac ) не является квадратом рационального числа.

Таким образом, чтобы проверить, приводим ли квадратный многочлен, необходимо вычислить его дискриминант и определить, является ли он квадратом некоторого рационального числа.

Пример 1:

Рассмотрим многочлен ( f(x) = 2x^2 + 3x + 1 ).

Вычислим дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1
]

Поскольку ( D = 1 ) является квадратом рационального числа ( (1 = 1^2) ), то многочлен ( f(x) ) является приводимым.

Пример 2:

Теперь рассмотрим многочлен ( f(x) = x^2 + 2x + 2 ).

Вычислим дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4
]

Так как дискриминант ( D = -4 ) не является квадратом рационального числа (что видно, так как квадрат любого рационального числа не может быть отрицательным), то многочлен ( f(x) ) является неприводимым над (\mathbb{Q}).

Пример 3:

Рассмотрим многочлен ( f(x) = 3x^2 + 4x + 2 ).

Вычислим дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 16 - 24 = -8
]

Так как дискриминант ( -8 ) также не является квадратом рационального числа, многочлен ( f(x) ) также является неприводимым над (\mathbb{Q}).

Эти примеры показывают, как использовать критерий неприводимости квадратного многочлена над рациональными числами.