Для факторизации многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители необходимо учитывать несколько условий, связанных с корнями многочлена и его степенью.

Степень многочлена: Пусть дан многочлен ( P(x) ) степени ( n ):
[
P(x) = an x^n + a{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0
]
Если ( n ) четная, то он может иметь кратные корни, в то время как при ( n ) нечетной степени многочлен всегда должен иметь хотя бы один действительный корень.

Факторизация на линейные и квадратичные множители:

Если многочлен имеет ( k ) действительных корней, то он может быть представлен в виде:
[
P(x) = c(x - r_1)(x - r_2)\ldots (x - r_k)(Q(x))
]
где ( Q(x) ) — многочлен, не имеющий действительных корней.Квадратичные множители вида ( ax^2 + bx + c ) имеют действительные коэффициенты и могут быть получены из корней, если дискриминант ( D = b^2 - 4ac ) является неотрицательным. Если ( D < 0 ), то множество комплексных корней формирует конъюгированные пары комплексных чисел.

Условия для полной факторизации: Для ( P(x) ) степени ( n ) с ( d ) действительными корнями и ( n - d ) комплексными корнями (где количество комплексных корней четно):

Если все действительные корни кратны (то есть, имеют кратность больше 1), то ( P(x) ) может быть полностью разделим на линейные множители.Если ( P(x) ) имеет четное количество комплексных корней, каждый из которых образует пару ( (z, \overline{z}) ), и количество действительных корней ( d ) может быть любым, тогда многочлен фактически может быть представлен как произведение линейных и квадратичных множителей:
[
P(x) = c(x - r_1)(x - r_2)...(x - r_d)(Ax^2 + Bx + C)(Ax^2 + Bx + D)\ldots
]Если ( d ) — нечетно, требуемые условия для многочлена не выполняются.

В заключение, многочлен с действительными коэффициентами можно факторизовать на линейные и квадратичные множители над ( R ), если он имеет хотя бы один действительный корень, а все его комплексные корни организованы в пары.