Теорема Харди о рядов с положительными членами является важным результатом в анализе, который устанавливает связь между сходимостью рядов и их "слабым" поведением. Рассмотрим формулировку теоремы:

Теорема Харди: Пусть ( an ) — последовательность положительных чисел. Если ряд ( \sum{n=1}^{\infty} a_n ) расходится, то также расходятся ряды:

( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n} )( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^p} ) для любого ( p < 1 )

А если ряд ( \sum_{n=1}^{\infty} a_n ) сходится, то:

( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n} ) сходится, если ( a_n ) быстро убывает.( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^p} ) сходится для любого ( p > 1 ).Примеры

Пример расходящегося ряда:

Рассмотрим ряд ( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} ).

Он известен как гармонический ряд и расходится.По теореме Харди, ряд ( \sum{n=1}^{\infty} \frac{1/n}{n} = \sum{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} ) также расходится, что соответствует результату.

Пример сходящегося ряда:

Рассмотрим ряд ( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} ).

Этот ряд сходится (это классический результат).Тем не менее, можем рассмотреть ряд ( \sum{n=1}^{\infty} \frac{1/n^2}{n} = \sum{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3} ), который тоже сходится, поскольку ( p = 3 > 1 ).

Оценки:

Если ( a_n \sim \frac{1}{n^p} ) (при ( n \to \infty )), то:

Для ( p \leq 1 ), ( \sum_{n=1}^{\infty} an ) расходится, и как следствие, ( \sum{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n} ) также расходится.Для ( p > 1 ), ( \sum_{n=1}^{\infty} an ) сходится, и ( \sum{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^2} ) также сходится.

Таким образом, теорема Харди предлагает мощный инструмент для анализа сходимости рядов с положительными членами и помогает устанавливать важные связи между ними.