Чтобы исследовать классы функций, допускающих представление в виде суммы ортонормальной серии, и выяснить, как проверить распадаемость коэффициентов, нужно рассмотреть несколько ключевых понятий.

Ортонормированные серии

Ортонормированные серии — это разложение функции по ортонормированному базису в пространстве квадратируемых функций. Наиболее известный пример — разложение по функциям Фурье.

Условия для представимости в виде суммы ортонормальной серии:

Квадратируемость: Функция, которую мы хотим разложить, должна принадлежать пространству (L^2) (пространству квадратируемых функций). Это значит, что интеграл ее квадрата должен быть конечным:
[
\int |f(x)|^2 \, dx < \infty.
]

Ортонациональность базиса: Для представления функции по ортонормированному базису базисные функции должны быть ортонормированы в соответствующем функциональном пространстве.

Примеры ортонормированных базисовСинусы и косинусы в пространстве (L^2([-\pi, \pi])) (разложение Фурье).Полиномы Легандра в пространстве (L^2([-1, 1])).Полиномы Чебышева в пространстве (L^2([-1, 1])).Проверка распадаемости коэффициентов

Для проверки распадаемости коэффициентов разложения можно воспользоваться следующими критериями:

Коэффициенты Фурье: Если (f \in L^2([-\pi, \pi])), то его коэффициенты Фурье (c_n) вычисляются как:
[
cn = \frac{1}{2\pi} \int{-\pi}^{\pi} f(x) e^{-inx} \, dx.
]
Если (f) является периодической и кусочно непрерывной, то коэффициенты быстро распадаются, что можно проверить, например, по теореме Рунге или по теореме о распаде.

Сходимость и расходимость: Если (f) является непрерывной на конечном отрезке, то convergentsèses_coefficients должны расходиться. Для проверки можно использовать, например, критерий Коши или оценку по норме.

Критерий Бесселя: Для ортонормированных систем коэффициенты (cn) функций (f) суммируются следующим образом:
[
\sum{n=1}^{\infty} |c_n|^2 \leq C |f|^2,
]
где (C) — постоянная.

Заключение

Таким образом, важна проверка принадлежности функции пространству (L^2), что является необходимым условием для разложения по ортонормованной серии. Для проверки распадаемости коэффициентов можно применять различные критерии и теоремы, включая теорему о сходимости Fourier'а и критерий Бесселя.