Когда студент упрощает выражение, содержащие дроби, важно учитывать область определения, так как обнуление знаменателя приводит к ошибкам и некорректным выводам. Рассмотрим следующий процесс.

Пример

Рассмотрим выражение:

[
\frac{1}{x - 2} + \frac{3}{x + 1}
]

Шаг 1: Ввод начальной области определения

Сначала определяем область определения. Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

(x - 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2)(x + 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1)

Таким образом, область определения данного выражения:

[
D = \mathbb{R} \setminus {2, -1}
]

Шаг 2: Упрощение выражения

Теперь давайте упростим это выражение, используя общий знаменатель.

Общий знаменатель будет ((x - 2)(x + 1)).Переписываем суммы с новым знаменателем:

[
\frac{1(x + 1) + 3(x - 2)}{(x - 2)(x + 1)} = \frac{x + 1 + 3x - 6}{(x - 2)(x + 1)} = \frac{4x - 5}{(x - 2)(x + 1)}
]

Шаг 3: Указание области определения при упрощении

На каждом этапе упрощения необходимо указывать условия, при которых выражение остается определенным. Обратите внимание, что область определения в процессе упрощения не меняется, но важно указать это:

[
D = \mathbb{R} \setminus {2, -1} \text{ при любом упрощении.}
]

Шаг 4: Итоговая форма выражения

Следует привести итоговое выражение в окончательном виде и указать область определения:

[
\frac{4x - 5}{(x - 2)(x + 1)}, \quad D = \mathbb{R} \setminus {2, -1}
]

Заключение

Всегда следите за областью определения, особенно при работе с дробями. Если неожиданно возникнет обнуление знаменателя, это значит, что следует пересмотреть шаги упрощения, а также отследить, не были ли потеряны какие-либо ограничения в результате упрощения. Таким образом, при каждом шаге студент должен не только упрощать выражение, но и продуктивно указать, что область определения остается неизменной вплоть до последнего результата.