Теорема Дирихле, также известная как теорема о бесконечном числе простых чисел в арифметической прогрессии, утверждает, что если ( a ) и ( d ) — натуральные числа, взаимно простые между собой (то есть их наибольший общий делитель равен 1), то существует бесконечно много простых чисел, имеющих вид ( a + nd ) для неотрицательных целых ( n ).

Метод аналитической теории чисел: Это наиболее известный и распространённый подход. Доказательство основывается на использовании методов аналитической теории чисел, включая функции, такие как функции Римана. Одним из ключевых шагов является использование функции Лямбда и методов асимптотического анализа.

Система линейных форм: Используются методы, основанные на системе линейных форм. Этот подход был развит Б. Л. Бахмутским и другими и показывает, как можно получить бесконечное множество решений в арифметических прогрессиях.

Модулярные формы и теорема Гаусса о больших остатках: В современных исследованиях могут использоваться модулярные формы и методы, связанные с теорией чисел, чтобы обойти трудности, связанные с классическими доказательствами.

Проблема оценок: Пока функция, отвечающая за распределение простых чисел, может быть хорошо оценена на определённо больших интервалах, существует сложная структура в их распределении. Например, доказательства часто требуют сложных асимптотических оценок.

Отсутствие явного характера распределения простых чисел: Хотя известно, что простые числа распределены достаточно равномерно среди натуральных чисел, конкретные интервалы с фиксированными арифметическими прогрессиями значительно усложняют задачу.

Методы недоступности: Многие методы анализа могут не подходить к конкретным случаям, когда ( d ) велико или когда число ( a ) имеет специальные свойства, которые затрудняют применение общих результатов.

Критические значения: Необходимо учитывать влияние значений, которые прямо закреплены за несколькими взаимно простыми числами или имеют специальные свойства. Это может говорить о нехватке простых чисел в определённых прогрессиях.

Несмотря на трудности, теорема Дирихле остаётся одним из самых важных результатов в теории чисел, и её доказательство открыло новые горизонты в исследованиях о распределении простых чисел.