Доказательство предела последовательности можно проводить различными методами. Рассмотрим три основных подхода: ε-N аргументы, методы мажорирующих и минорирующих последовательностей, а также использование известных пределов. Мы проиллюстрируем эти методы на примерах.

1. ε-N аргументы

Метод: Этот метод строится на формальном определении предела. Он говорит, что последовательность ( a_n ) стремится к пределу ( L ), если для любого ( ε > 0 ) существует такое ( N ), что для всех ( n > N ) выполняется неравенство ( |a_n - L| < ε ).

Пример: Рассмотрим последовательность ( an = \frac{1}{n} ). Мы хотим показать, что ( \lim{n \to \infty} a_n = 0 ).

Для любого ( ε > 0 ) выберем ( N = \frac{1}{ε} ). Тогда для всех ( n > N ) выполняется:
[
|a_n - 0| = \left|\frac{1}{n} - 0\right| = \frac{1}{n} < ε,
]
что завершает доказательство.

2. Мажорирующие и минорирующие последовательности

Метод: Этот метод основан на сравнении данной последовательности с другими последовательностями, предельные значения которых известны. Если мы можем показать, что одна последовательность ограничивает другую, то можно вывести предел целевой последовательности.

Пример: Возьмем ту же последовательность ( a_n = \frac{1}{n} ). Мы можем сравнить её с последовательностью ( b_n = 0 ) (минорирующая последовательность) и ( c_n = \frac{1}{n-1} ) (мажорирующая последовательность). Мы знаем, что ( 0 < a_n < \frac{1}{n-1} ) для ( n \geq 2 ).

Так как ( \lim_{n \to \infty} bn = 0 ) и ( \lim{n \to \infty} cn = 0 ), по теореме о мажорирующих и минорирующих последовательностях, можем заключить, что:
[
\lim{n \to \infty} a_n = 0.
]

3. Использование известных пределов

Метод: Этот метод основывается на использовании пределов, которые уже известны и доказывались ранее. Например, если мы знаем, что ( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 ), то можно использовать это знание для доказательства предела более сложных последовательностей.

Пример: Рассмотрим последовательность ( an = \frac{2}{n} ). Мы можем использовать известный предел ( \lim{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 ) для заключения:
[
\lim_{n \to \infty} an = 2 \cdot \lim{n \to \infty} \frac{1}{n} = 2 \cdot 0 = 0.
]

Заключениеε-N аргументы наиболее удобны, когда требуется строгое формальное доказательство, особенно для новых или сложных пределов.Мажорирующие и минорирующие последовательности полезны при сравнении с известными последовательностями и хорошо работают для монотонных последовательностей.Использование известных пределов эффективно при наличии предыдущих результатов, позволяя упростить доказательства без необходимости их повторного выполнения.