Ошибка в приведенном решении заключается в том, что не учитывается, что функция должна быть непрерывной. При условии, что производная функции ( f'(x) = 0 ) во всех точках, мы действительно можем утверждать, что функция постоянна, но это утверждение верно только если дополнительно выполнено условие непрерывности функции ( f(x) ).

Формулировка теоремы: Если функция ( f(x) ) непрерывна на интервале ( [a, b] ) и her производная ( f'(x) = 0 ) для всех ( x ) в этом интервале, то ( f(x) ) постоянна на ( [a, b] ).

Однако если ( f(x) ) не является непрерывной, наличие нулевой производной не гарантирует, что функция постоянна. Например, можно рассмотреть кусочную функцию, которая имеет разрывы, при этом производная будет равняться нулю на всех "гладких" участках, но сама функция может изменяться.

Таким образом, для корректного применения утверждения о постоянстве функции необходимы следующие условия:

Функция ( f(x) ) должна быть непрерывной.Производная ( f'(x) ) должна быть равна нулю на рассматриваемом интервале.

Без этих условий данное утверждение может быть неверным.