Чтобы проверить выпуклость многоугольника, можно использовать координаты его вершин. Ниже приведен один из самых распространенных методов с использованием векторного произведения.

Шаги проверки выпуклости:

Определите порядок вершин: Убедитесь, что координаты вершин многоугольника упорядочены, например, по часовой стрелке или против часовой стрелки. Это важно, так как алгоритм будет основан на этом порядке.

Вычислите векторные произведения:
Рассмотрим три последовательные вершины ( Ai ), ( A{i+1} ), ( A_{i+2} ) (где индексы берутся по модулю ( n ) - общего числа вершин). Определите векторные произведения:

[
\text{cross}(Ai, A{i+1}, A{i+2}) = (A{i+1} - Ai) \times (A{i+2} - A_{i+1})
]

В двумерном пространстве это может быть выражено как:

[
z = (x_{i+1} - xi) \cdot (y{i+2} - y{i+1}) - (y{i+1} - yi) \cdot (x{i+2} - x_{i+1})
]

Определите знак векторного произведения:

Если ( z > 0 ), то три точки поворачиваются против часовой стрелки.Если ( z < 0 ), то поворот по часовой стрелке.Если ( z = 0 ), то три точки коллинеарны.

Проверьте знак для всех троек вершин:
Проверьте знак результатов для всех троек последовательных вершин. Если все результаты имеют одинаковый знак (все положительные или все отрицательные), многоугольник выпуклый. Если хотя бы один результат отличается, многоугольник не выпуклый.

Сложности, возникающие при самопересечении:

Определение самопересечений: Если многоугольник пересекается сам с собой, это затрудняет определение его выпуклости, так как векторные произведения могут показывать разные знаки на разных участках.

Учет коллинеарных точек: При наличии коллинеарных точек алгоритм может выдавать неверные результаты на этих участках, если они не будут правильно обработаны.

Неоднозначность порядка вершин: В случае самопересечения порядок обхода (по часовой или против часовой стрелки) может не определять читкую нормальную для области, образуемой многоугольником.

Необходимость дополнительного анализа: Для самопересекающихся многоугольников может потребоваться дополнительный анализ (например, разбиение на простые выпуклые многоугольники) для корректного определения их свойств.

Таким образом, при проверке выпуклости многоугольника важно учитывать его форму и потенциальные самопересечения, что может усложнить алгоритм.