Рассуждение "для всех x неотрицательно, sqrt(x^2) = x" является корректным только при условии, что ( x ) — неотрицательное число. Давайте разберем это подробнее.

Определение функции квадратного корня: По определению, для неотрицательного числа ( a ) выполняется ( \sqrt{a} \geq 0 ). То есть, корень квадратный из числа всегда неотрицателен.

Квадрат числа: Для любого действительного числа ( x ), справедливо равенство ( x^2 \geq 0 ). Это означает, что ( \sqrt{x^2} ) всегда определено.

Рассмотрение случая с отрицательными ( x ):

Если ( x ) неотрицательное, например ( x = 3 ), то действительно ( \sqrt{x^2} = \sqrt{3^2} = \sqrt{9} = 3 = x ).Однако если взять отрицательное ( x ), например ( x = -3 ), то получаем ( \sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3 ), что не равно ( -3 ).

Таким образом, обобщение, что ( \sqrt{x^2} = x ) верно только для ( x \geq 0 ). В общем случае, правильнее было бы записать:

[
\sqrt{x^2} = |x|
]

где ( |x| ) — модуль числа ( x ). Модуль ( x ) всегда неотрицателен и равен ( x ), если ( x \geq 0 ), и равен ( -x ), если ( x < 0 ).

Таким образом, нужно учитывать знак ( x ) при использовании этого равенства, чтобы избежать неверных выводов.