Утверждение "если последовательность сходится по абсолютной величине, то она сходится" формально неверно. То есть, даже если последовательность сходится по абсолютной величине, это не обязательно подразумевает, что последовательность сама сходится.

Правильная формулировка: Если последовательность ((a_n)) сходится по абсолютной величине, то она может сходиться, но это не обязательно.

Рассмотрим последовательность (a_n = (-1)^n). Эта последовательность не сходится, так как чередуется между 1 и -1. Однако, последовательность, состоящая из абсолютных значений, ( |a_n| = 1), не сходится к нулю (она постоянна и равна 1).

Другой пример: пусть (bn = \frac{(-1)^n}{n}). Эта последовательность сходится к нулю, то есть (\lim{n \to \infty} b_n = 0), и последовательность абсолютных значений (|b_n| = \frac{1}{n}) также сходится к 0, но здесь уже по абсолютной величине тоже всё нормально. Так что справедливость зависит от вида примера.

Для более строгого контрпримера можно привести (c_n = (-1)^n \cdot n). Эта последовательность не сходится, но (|c_n| = n) уходит в бесконечность.

Таким образом, наличие сходимости по абсолютной величине не даёт полной гарантии сходимости ряда.