Доказательство выпуклости функции с использованием второй производной очень удобно для функций одной переменной. Функция ( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} ) является выпуклой на интервале, если для любых ( x_1, x_2 ) из этого интервала и ( \lambda \in [0, 1] ) выполняется неравенство:

[
f(\lambda x_1 + (1 - \lambda) x_2) \leq \lambda f(x_1) + (1 - \lambda) f(x_2).
]

Однако для функции, которая дважды дифференцируема, выпуклость можно доказать с помощью второй производной:

Если ( f''(x) \geq 0 ) для всех ( x ) в интервале, то функция ( f ) является выпуклой на этом интервале.Если ( f''(x) > 0 ) для всех ( x ) в интервале, то функция ( f ) является строго выпуклой.Многомерный случай

В многомерном случае (функция ( f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} )) те же принципы могут быть применены, но с некоторыми оговорками:

Для многомерной функции необходимо использовать Г Hess'ian — матрицу вторых производных. Г Hess'ian ( H(f) ) в точке ( x ) определяется как матрица:

[
H(f) = \begin{bmatrix}
\frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} & \cdots \
\frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & \cdots \
\vdots & \vdots & \ddots
\end{bmatrix}.
]

Функция ( f ) является выпуклой на области, если Hess'ian ( H(f) ) является положительно полувысоким (semi-definite) для всех ( x ) в этой области (то есть все собственные значения ( H(f) ) не отрицательны).Функция считается строго выпуклой, если Hess'ian является положительно определённым (то есть все собственные значения положительны) для всех ( x ).ОграниченияАналитичность: Метод основан на наличии второй производной. Если функция не является дважды дифференцируемой, данный подход не применим.Линейные комбинации: В многомерном случае нужно быть внимательным с линейными комбинациями в определении выпуклости. Сложные зависимости между переменными могут влиять на выпуклость.Локальная и глобальная выпуклость: Выпуклость может быть локальной на некотором множестве, но не обязательно глобальной. Т.е. Hess'ian может иметь подходящие свойства только в некоторой окрестности, но не на всем множестве.

Эти методы и ограничения помогут вам корректно проверить выпуклость функций как в одномерном, так и в многомерном случаях.