Студент утверждает, что (0! = 0), что является ошибкой. Давайте разберем, почему это так и как определяется факториал нуля.

Факториал (обозначаемый как (n!)) — это произведение всех положительных целых чисел от 1 до (n). Формально он определяется для положительных целых чисел следующим образом:

[
n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \ldots \times 2 \times 1
]

В случае (n = 0) мы сталкиваемся с особой ситуацией, потому что нет положительных целых чисел, которые нужно перемножать. Однако, определение факториала включает в себя и специальный случай для нуля.

Мы можем определить (0!) через комбинираторы, например, через количество способов выбрать 0 объектов из 0 (что всегда 1). Формально это записывается как:

[
0! = 1
]

Это утверждение также можно обосновать с помощью рекурсивного определения факториала:

[
n! = n \times (n-1)!
]

Если подставить (n = 1), получаем:

[
1! = 1 \times 0!
]

Зная, что (1! = 1), мы можем выразить (0!):

[
1 = 1 \times 0!
]

Таким образом:

[
0! = 1
]

Итак, правильное значение (0!) — это 1. Ошибка студента заключается в том, что он утверждает, что (0! = 0), не учитывая определение факториала для нуля и не принимая в расчет вышеуказанные аргументы.

Подводя итог, (0! = 1) — это важное и хорошо установленное математическое утверждение, которое имеет множество приложений, например, в комбинаторике и при работе с формулами для биномиальных коэффициентов.