В треугольнике
A
B
C
ABC . проведены отрезки
B
M
BM к стороне
A
C
AC и
A
F
AF к стороне
B
C
BC . Данные отрезки пересекаются в точке
T
T . Найди отношение площади четырёхугольника
T
F
C
M
TFCM к площади треугольника
A
T
B
ATB , если
A
M
=
C
M
AM=CM ,
∠
C
A
F
=
∠
B
A
F
∠CAF=∠BAF ,
A
B
:
A
C
=
1
:
4
AB:AC=1:4 .
В треугольнике
A
B
C
ABC . проведены отрезки
B
M
BM к стороне
A
C
AC и
A
F
AF к стороне
B
C
BC . Данные отрезки пересекаются в точке
T
T . Найди отношение площади четырёхугольника
T
F
C
M
TFCM к площади треугольника
A
T
B
ATB , если
A
M
=
C
M
AM=CM ,
∠
C
A
F
=
∠
B
A
F
∠CAF=∠BAF ,
A
B
:
A
C
=
1
:
4
AB:AC=1:4 .
A
B
C
ABC . проведены отрезки
B
M
BM к стороне
A
C
AC и
A
F
AF к стороне
B
C
BC . Данные отрезки пересекаются в точке
T
T . Найди отношение площади четырёхугольника
T
F
C
M
TFCM к площади треугольника
A
T
B
ATB , если
A
M
=
C
M
AM=CM ,
∠
C
A
F
=
∠
B
A
F
∠CAF=∠BAF ,
A
B
:
A
C
=
1
:
4
AB:AC=1:4 .
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Поставим систему координат так, чтобы A=(0,0), C=(4,0) (тогда AC=4), и возьмём B=(0,1) (тогда AB=1, значит AB:AC=1:4 соблюдается). Тогда
M — середина AC, M=(2,0).По теореме о биссектрисе BF:FC = AB:AC = 1:4, значит F делит BC в отношении 1:4 от B к C:F = (4/5)B + (1/5)C = (4/5·0 + 1/5·4, 4/5·1 + 1/5·0) = (4/5,4/5).
Прямая AF проходит через A и F, т.е. y = x. Прямая BM проходит через B(0,1) и M(2,0): её уравнение y = 1 − x/2. Их пересечение T даёт
x = 1 − x/2 ⇒ x = 2/3, y = 2/3, т.е. T=(2/3,2/3).
Найдём площади.
Площадь треугольника ATB (A в начале координат) = 1/2 |det( T, B )| = 1/2 · |(2/3)·1 − 0·(2/3)| = 1/3.
Площадь четырёхугольника T–F–C–M вычислим формулой Гаусса (shoelace):
получаем S_TFCM = 14/15.
Тогда отношение
S_TFCM : S_ATB = (14/15) : (1/3) = (14/15)·3 = 14/5.
Ответ: 14/5.