Условие (чертёж): в прямоугольном треугольнике ABC угол C = 90°. Высота из вершины C на гипотенузу AB опущена и пересекает AB в точке D. Известно, что AD = 4 см и DB = 9 см. Найти длины катетов AC и BC и длину высоты CD.
Решение:
Обозначим гипотенузу AB = AD + DB = 4 + 9 = 13 см.
В прямоугольном треугольнике выполняются теоремы о проекциях:
AC^2 = AB · AD,BC^2 = AB · DB,CD^2 = AD · DB.
Найдём AC: AC^2 = AB·AD = 13 · 4 = 52, AC = sqrt(52) = 2·sqrt(13) ≈ 7,211 см.
Найдём BC: BC^2 = AB·DB = 13 · 9 = 117, BC = sqrt(117) = 3·sqrt(13) ≈ 10,817 см.
Найдём CD: CD^2 = AD·DB = 4 · 9 = 36, CD = sqrt(36) = 6 см.
Проверка (по Пифагору): AC^2 + BC^2 = 52 + 117 = 169 = 13^2 = AB^2, всё согласуется.
Ответ: AC = 2·√13 см (≈7,211 см), BC = 3·√13 см (≈10,817 см), CD = 6 см.
Составлю задачу с описанием чертежа и решу её.
Условие (чертёж): в прямоугольном треугольнике ABC угол C = 90°. Высота из вершины C на гипотенузу AB опущена и пересекает AB в точке D. Известно, что AD = 4 см и DB = 9 см. Найти длины катетов AC и BC и длину высоты CD.
Решение:
Обозначим гипотенузу AB = AD + DB = 4 + 9 = 13 см.
В прямоугольном треугольнике выполняются теоремы о проекциях:
AC^2 = AB · AD,BC^2 = AB · DB,CD^2 = AD · DB.Найдём AC:
AC^2 = AB·AD = 13 · 4 = 52,
AC = sqrt(52) = 2·sqrt(13) ≈ 7,211 см.
Найдём BC:
BC^2 = AB·DB = 13 · 9 = 117,
BC = sqrt(117) = 3·sqrt(13) ≈ 10,817 см.
Найдём CD:
CD^2 = AD·DB = 4 · 9 = 36,
CD = sqrt(36) = 6 см.
Проверка (по Пифагору): AC^2 + BC^2 = 52 + 117 = 169 = 13^2 = AB^2, всё согласуется.
Ответ: AC = 2·√13 см (≈7,211 см), BC = 3·√13 см (≈10,817 см), CD = 6 см.