Дано (z^2+pz+q=0) с вещественными параметрами (p,q). Обозначим дискриминант
[
D=p^2-4q.
]
Корни по формуле:
[
z_{1,2}=\frac{-p\pm\sqrt{D}}{2}.
]

Критерии и связи с симметрией коэффициентов:

Оба корня вещественные и разные: (\mathbf{D>0}). Тогда (\sqrt{D}\in\mathbb{R}) и оба числа (z_{1,2}) — вещественные. (По Виету: сумма (z_1+z_2=-p), произведение (z_1z_2=q).)

Двойной (равный) вещественный корень: (\mathbf{D=0}). Тогда единственный корень (z=-\dfrac{p}{2}), повторённый. Частный случай: если (p=q=0), двойной корень в нуле.

Комплексно-сопряжённые (невещественные) корни: (\mathbf{D<0}). Поскольку (p,q\in\mathbb{R}), нетривиальные ненулевые комплексные корни всегда идут парами сопряжённых, т.е. (z_2=\overline{z_1}).

Корни, противоположные по знаку ((z_2=-z_1)): это эквивалентно нулевой сумме корней, значит по Виету (z_1+z_2=-p=0), т.е. (\mathbf{p=0}). При (p=0) многочлен (z^2+q) — чётная функция ((f(-z)=f(z))), следовательно корни симметричны относительно начала координат. Дополнительно:

если (p=0) и (q<0) — корни действительные и противоположные по знаку (разные): (z=\pm\sqrt{-q});если (p=0) и (q=0) — двойной нулевой корень;если (p=0) и (q>0) — корни чисто мнимые и сопряжённые: (z=\pm i\sqrt{q}).

Краткая таблица по дискриминанту и симметрии:

(D>0): два различных вещественных корня.(D=0): один (двойной) вещественный корень.(D<0): пара комплексно-сопряжённых корней.(p=0): корни симметричны относительно нуля (противоположны по знаку); сочетание с (q) даёт, какие именно (см. выше).