Решение: системы нет (противоречие). Коротко:

Из первого равенства при поразрядном сложении (обозначим переносы (c_1,c_2)):
[
\begin{cases}
A+U=R+10c_1,\
A+c_1=R+10c_2,\
c_2=U,
\end{cases}
]
откуда при (c_2=U) получаем (U\in{0,1}). Проверка даёт (U=1,\;c_1=1,\;A=9,\;R=0) (вариант (U=0) ведёт к (A=R) и потому отвергается).

Из второго равенства по единицам:
[
U+U\equiv U\pmod{10}\implies U\equiv0\pmod{10}\implies U=0.
]

Получаем противоречие: первый даёт (U=1), второй — (U=0). Следовательно, однозначного соответствия букв цифрам, удовлетворяющего всем трём равенствам, не существует.