Решаем уравнение Пелля
$$x^2-2y^2=1,x,y\in \mathbb{Z}.$$
Короткий ответ: все решения получаются как степени фундаментального положительного узла $3+2\sqrt{2}$:
$$x+y\sqrt{2}=\pm (3+2\sqrt{2}{)}^k,k\in \mathbb{Z}.$$ Соответственно для $k\ge 0$ положительные решения задаются явными формулами
$$x_k=\frac{(3+2\sqrt{2}{)}^k+(3-2\sqrt{2}{)}^k}{2},y_k=\frac{(3+2\sqrt{2}{)}^k-(3-2\sqrt{2}{)}^k}{2\sqrt{2}},$$ и все целочисленные решения — это $(\pm x_k,\pm y_k)$ (знаки можно выбирать независимо, т.к. квадраты нечувствительны к знаку).
Методы получения и их сравнение.
1) Метод непрерывных дробей (алгоритмический).
- Разложение $\sqrt{2}=[1;\overline{2}]$ периодично с длиной периода $1$. Для нечетного периода уравнение $x^2-2y^2=-1$ имеет нетривиальное решение, здесь это $(1,1)$ (связано с приближением $1/1$), а решение для $+1$ получаем как квадрат: $(3,2)$ — это приближение $3/2$.
- Общий метод: найти минимальное нетривиальное решение (фундаментальное) с помощью цепной дроби, затем все решения получаются умножением (композиция приближений), т.е. степенями фундаментального решения. Для $\sqrt{2}$ фундаментал для $+1$ — $(3,2)$.
Плюсы: универсальный алгоритм для любого неполного квадратичного d; даёт быстро минимальное решение. Минусы: даёт меньше арифметического понимания структуры единиц кольца.
2) Элементарная теория Пелля / алгебраические числа.
- В кольце $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ норма $N(a+b\sqrt{2})=a^2-2b^2$. Единицы этого кольца — элементы с нормой $\pm 1$. Известно, что единицы порождаются элементом $1+\sqrt{2}$: все единицы имеют вид $\pm (1+\sqrt{2}{)}^n$.
- Так как $N(1+\sqrt{2})=-1$, то единицы с нормой $+1$ — это чётные степени $(1+\sqrt{2}{)}^{2k}=(3+2\sqrt{2}{)}^k$. Это даёт ту же формулу для всех решений.
- Плюсы: даёт концептуальное объяснение структуры (группа единиц единственный порождённый элемент), показывает связь с теорией чисел и алгебраическими свойствами. Минусы: требует знаний о структуре кольца целых квадратичного поля (хотя для $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ всё элементарно).
Структура множества решений.
- Множество положительных решений $(x,y)$ (с $x,y\ge 1$) образует бесконечную циклическую полугруппу под операцией умножения соответствующих чисел $x+y\sqrt{2}$, порождённую $3+2\sqrt{2}$.
- Рекуррентная форма: если $(x_n,y_n)$ — n‑ое решение (например $(x_0,y_0)=(1,0)$, $(x_1,y_1)=(3,2)$), то
$$x_{n+1}=3x_n+4y_n,y_{n+1}=2x_n+3y_n.$$ - Все решения получаются для $k\in \mathbb{Z}$ из $\pm (3+2\sqrt{2}{)}^k$; отрицательные $k$ даёт обратные элементы, но в целых это совпадает с перечисленными парами (в частности $k=0$ даёт тривиальное $(1,0)$).
Вывод: метод непрерывных дробей даёт эффективный способ найти фундаментальное решение; подход через единицы в $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ объясняет почему все решения образуются степенями одного фундаментального элемента. Для уравнения $x^2-2y^2=1$ фундаментал — $3+2\sqrt{2}$, и формулы/рекурренты выше дают все решения.