Ответ: формула Гирара (Girard). Для сферического треугольника на сфере радиуса $R$ с внутренними углами $A,B,C$ (измеренными в радианах) площадь $S$ связана с суммой углов через сферический избыток $E$:
$$E=A+B+C-\pi ,S=R^{2}E=R^2(A+B+C-\pi ).$$
Ключевые допущения и понятия:
- стороны треугольника — дуги больших кругов;
- углы $A,B,C$ — внутренние углы при вершинах (в радианах);
- площадь считается по поверхности сферы (для единичной сферы $R=1$ получаем $S=E$).
Короткая идея доказательства (лави): каждая луна (двугранная область между двумя большими кругами), соответствующая углу $A$, имеет площадь $2A{R}^2$. Просуммировав площади трёх лун и посчитав, сколько раз каждая точка сферы входит в эти луны (комбинаторный подсчёт областей), получают линейное уравнение, из которого вытекает формула Гирара выше.
Переход к предельной (евклидовой) плоскости:
- для «малого» сферического треугольника стороны имеют малые угловые размеры $\alpha ,\beta ,\gamma$ (дуговые длины $a=R\alpha ,b=R\beta ,c=R\gamma$ с малыми $\alpha ,\beta ,\gamma$);
- тогда сферический избыток $E=A+B+C-\pi$ мал и площадь $S=R^{2}E$ тоже мала; в первом порядке $A,B,C$ приближаются к соответствующим плоским углам, а
$$E\approx \frac{\text{плоская площадь}}{R^2}.$$ В частности, если взять два прилежащих ребра длинами $a,b$ и угол между ними $C$, то при малых размерах
$$S\approx \frac{1}{2}ab\sin C,$$ что даёт привычную евклидову формулу площади. Формально это получается из того, что при малых аргументах $\sin (\alpha )\approx \alpha$, $\cos (\alpha )\approx 1-{\alpha }^2/2$ и из сферических законов косинусов/синусов в пределе переходящих в плоские.